《高維雙曲型方程的奇性與退化全局解的研究》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由楊小舟擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：高維雙曲型方程的奇性與退化全局解的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：楊小舟
- 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目對高維雙曲守恆律方程的幾個基礎性的問題開展研究，包括：（1）通過對二維特徵的包絡面位置和形狀的分析判斷，來構造二維簡化歐拉方程的全局解，並希望發現二維解的全局結構的新現象和典型現象；（2）構造二維等熵全歐拉方程的一類非自相似的二維稀疏波和一類二維全局理論解；（3）利用二維特徵面的混合型包絡面族的分類，來發現二維雙曲型方程的解的新結構；（4）研究Chaplygin氣體二維激波的繞射分析；（5）研究一類2×2的二維雙曲型方程組的非自相似基本波的全局連線準則和連線方法。 本項目的特色，一是我們通過定義+包絡、-包絡和混合型包絡，並通過對它們的分析、定位和求解，來發現二維全局解和二維基本波相互作用的典型結構及一般結構的分類,研究方法有新意和自己的東西；二是我們的研究將理論分析和數值計算結合在一起；三是我們要研究的問題是需要回答的一些基礎性的問題，這些問題都具有很重要的意義和大的挑戰性。
結題摘要
本項目取得以下成果：（1）首次發現n維非齊次守恆律方程的n維激波和n維稀疏波兩種波的解析表達式，並獲得評審報告的很高評價，克服了n維情形和非齊次情形所帶來的很大難度，論文以很快的速度線上發表在權威雜誌Journal of Differential Equations上，論文提交修改稿後的兩天后被接受，13天后被線上發表。 我們發現了在n維特徵曲面族中的與黎曼不變數有關的n元新不變數: 一維守恆律方程理論中有黎曼不變數，但高維守恆律中一直沒有發現類似的不變數。在該論文中，我們發現了在n維特徵族中存在一個不變函式。在特徵面上取為常數，是特徵族上的不變數。可以看成黎曼不變數在n維的本質性推廣。 審稿報告對我們的JDE論文的研究結果和進展有以下幾點的好評： 1）…以我的觀點看，這篇文章的結果對標量高維守恆律方程的研究給出了令人感興趣和原創性的貢獻。… 2）關於我們研究問題的難度和意義：審稿意見評價到： 據我所知，該文章考慮的初值是被彎曲界面分開的兩個狀態的情形，在以往的文獻中沒有被研究過，…基於的自相似性的黎曼問題解的傳統方法對該文章的情形中不適用。 3）…作者們考慮了一個自然類的初值，他們提出的構造有助於研究更一般的解的行為。… 4）該論文組織得很好並且寫作清晰。 (2）二維標量守恆律方程的二維Glimm型格式的構造和收斂性證明，以及套用該新格式證明了初值可以無界的二維柯西問題的解存在唯一性，並提出了新的二維熵條件對著名的Kruzkov熵條件，把以往柯西問題對初值要求有界的要求本質性地降低了。 （3）研究並得到了Eikonal 方程解的全局結構和正則性。被Arch. Rational Mech. Anal. 接受發表。 （4）研究了通過凹角楔子的三維低壓穩態超音速歐拉流的性質，有關結果發表在Arch. Rational Mech. Anal上 （5）我們提出了包絡的新方法，利用正包絡和負包絡的結構得到了二維守恆律全局解的結構和相互作用的結構的較完整分類。 （6）我們得到了著名數學家Majda院士提出的Majda燃燒方程的十幾種黎曼問題解的統一的解的表達式。
