高維雙曲型方程解的奇性結構及其演化的研究

《高維雙曲型方程解的奇性結構及其演化的研究》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由楊小舟擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：高維雙曲型方程解的奇性結構及其演化的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：楊小舟
• 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院

項目摘要

二維和高維雙曲型守恆律方程（組）的研究是偏微分方程最重要的研究課題之一。我們在本項目中將分以下方面進行探討。.第一方面：包含兩部分研究內容，研究當初值是某類光滑函式時，二維零壓流方程組和二維單守恆律方程的高維全局解的奇性結構是怎樣產生的？與一維的結構有什麼本質性的不同？是如何隨著時間的增長而演化的？ .第二方面：也含兩部分研究內容，探討初值是非自相似的高維黎曼初值時，即初值只含兩種不同的常狀態，初始間斷是光滑閉曲線或閉曲面時，求解二維簡化歐拉方程和三維零壓流方程組的全局隱式特解；探討高維激波及其高維奇性解的典型結構及其演化規律。.本項目將套用全局隱函式法、包絡曲率法等有效的創新方法、利用和發展非自相似高維解的最新成果。 本項目的研究內容對守恆律的理論基礎的探討，對提供檢驗高維計算格式的標準解，都有重要的理論價值和意義。

結題摘要

本項目在以下五方面取得了研究成果。第一方面的研究及成果：發現了兩個重要和基礎性的守恆律方程的全局解的新公式。這是本項目取得的各結果中最有份量的結果，我們得到的齊次單守恆律方程的全局弱解新公式，本質性地推廣了註明的Lax 公式，我們還得到了非齊次單守恆律方程的柯西問題的全局弱解公式。以往非齊次單守恆律方程沒有弱解公式。第二方面的研究及成果：在Chapman-Jouguet方程的高維問題做出有新意的成果，還對該燃燒方程的數值計算提出了新的算法。我們的新算法，擴大了可計算的類型，以往不能算的類型在我們的新算法下都能算了。第三方面的研究及成果：研究了二維一般的守恆律方程的全局解的結構及其變化規律，進行了數值計算、對二維解的結構有若干新的發現。完成了以下兩個問題的研究。分析了一類二維守恆律方程全局解幾種不同的結構; 提出了構造二維非自相似全局解的構造方法和指導準則; 對二維全局解的結構進行了分類，提出了+包絡、-包絡和混合包絡的新概念及由此產生的結構分類法。我們還研究了二維維雙曲守恆律方程的初值問題的計算模擬。第四方面的成果：在哈密爾頓-雅可比方程的大時間行為上取得不錯的結果。第五方面的成果：在一類重要的相關方程的估計方法上取得基礎性進展。完成論文11篇，其中發表或接受發表6篇。