《含間斷項的雙曲型方程的全局解研究》是依託西南大學，由胡凱擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：含間斷項的雙曲型方程的全局解研究
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：胡凱
- 依託單位：西南大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目旨在研究一類含雙重間斷源項的非線性雙曲型方程及方程組。這類方程是我們利用疊代方法從化學燃燒模型中簡化得到的。它與以前文獻所研究的方程不同，源項除了關於空間變數間斷之外，還關於未知函式U間斷，即雙重間斷項。這種間斷的成因一方面來自於外界物理環境的改變，另一方面來自於流體自身化學性質的突變。.對這類新型雙曲問題的全局解的研究是本項目的新意所在。首先，在雙重間斷效應下，該問題比前人已有的研究具有更大的技術難度。方程的奇性增大使基本波的類型更多樣，波之間的相互作用更複雜，會演化出新的幾何結構。而且經典理論中的一些重要估計可能不再成立。我們需要建立新的估計，重新驗證解的穩定性以及大時間漸近性態。其次，該課題的成果對燃燒模型的研究有著至關重要的作用。通過我們提出的疊代收斂方法，有助於全面解決Majda模型與ZND模型的適定性問題。總之，此類方程的研究有著極大的理論意義與套用價值。
結題摘要
本課題以Chapman-Jouguet燃燒方程為研究對象，探索了含未知函式的間斷源項的雙曲型偏微分方程全局解問題。它是由含源項的Euler方程和化學反應速率方程耦合而成。雙曲型方程的解本身就存在爆破的可能，再加入間斷源項給問題的求解帶來了極大的困難。 我們先研究了多方氣體在一維激波管中的黎曼初值問題，成功得到了黎曼問題的所有解。燃燒方程和Euler方程類似，當初值左右兩側速度差距很大時，方程存在含真空態的L-infinity無界的分片光滑解。此時不會發生燃燒現象。只要兩側速度差不大，滿足Smoller提出的條件，都能求出L-infinity有界解。為了充分研究氣體溫度對燃燒波的影響，我們將解曲線直接放在u-p-tau空間中分析。證明了當束縛能很小時，DT和DF曲線只有一部分能夠高於燃點。 當左狀態對應的CJDT或CJDF點的溫度低於燃點時，DT或DF曲線是不能連線第三族稀疏波曲線的。這一現象與前人的研究是不同的。這種情況下大部分初值解曲線只存在唯一交點，不存在三解比較問題。針對其他文獻提出的解唯一性準則。我們給出新的判定條件：物理解是所有解中燃燒波波速最小的。這一新的定解原則，更加簡潔，有利於對柯西初值問題的研究。
