《雙曲守恆律方程組弱解的性質研究》是依託南京航空航天大學，由王澤軍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：雙曲守恆律方程組弱解的性質研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王澤軍
- 依託單位：南京航空航天大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
雙曲守恆律方程組以及一些相關問題研究是流體力學數學研究的重要問題。一般來說，由於問題的非線性，光滑解並不存在，並且由於物理上的重要意義，弱解成為人們的重要研究對象。弱解中包括激波，疏散波，接觸間斷等複雜形式，給分析帶來困難。一維的情況的研究已經取得了一些非常好的結果，但是很多問題還需要進一步研究。另外，對於高維問題的研究尚未建立完整的理論。該項目將對一維的問題作進一步研究，包括方程組的解的適定性及衰減性等。對於高維問題，將研究解的存在性，漸近穩定性等等。研究的重點將放在對含有激波，接觸間斷等的弱解的存在穩定性，解的大時間性態，波的反射以及各種波的相互作用。項目的預期目標是對上述問題建立較為完善的理論，並將在權威期刊上發表學術論文5-8篇。
結題摘要
本項目執行三年期間，基本按照原計畫計畫進行。對於理想流體的Euler 方程組，我們主要是從以下幾個方面進行了研究：1. 可壓縮流體衝擊錐形物體時激波解的存在性。在我們以前，主要的結果都是考慮錐形的張角為小角度情形，在這種情況下，所產生的主激波是一個強度非常弱的波。我們證明了當張角小於一個臨界值時（由於當角度充分大時，會產生脫體激波，我們研究的是附體激波，所以這個要求是合理的）解在整體存在性。 2.研究了三維球對稱的相對論Euler方程組的非相對論極限。我們採用Glimm格式的方法，在BV空間中建立的解的存在性，並證明當光束趨於無窮大時，其解將趨於非相對論的Euler方程組的解。3.研究了可壓Euler方程組在Besov空間中的松馳極限。利用調和分析的方法，通過建立精確的解的一致有界性估計以及交換子的估計，證明了初值在平衡解附近時的整體解的存在性，並證明，當鬆弛時間收斂到零的時候，其密度收斂到疏鬆介質方程的解。4.研究了簡化的Ericksen-Leslie模型，對原來的判斷正則性的標準進行了較大提高。用的主要方法是能量方法。5.研究了帶有耗散項的守恆律方程組的大時間性態，以及帶有粘性的流體力學方程組的大時間性態。我們採用Fourier分析的方法，得到了精細的逐點估計，並將這一結果推廣到更加一般的方程組上。在對外交流方面，邀請部分專家前來訪問，並作系列學術報告。組織了兩次偏微分方程學術研討會，多次參加學術會議及一些暑期活動。發表3篇論文，均為SCI期刊。正在審稿的有6篇。
