《非線性雙曲守恆律和補償列緊理論》是依託杭州師範大學，由陸雲光擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性雙曲守恆律和補償列緊理論
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
雙曲守恆律弱解的存在性問題源於高速氣流產生的衝激波現象，其中不具有連續性解的存在性研究一直是該領域的一個重要研究課題。確定雙曲守恆方程（組）廣義解的存在性有Glimm差分法和補償列緊理論兩種方法。本項目使用後一方法研究對一般壓力函式的等熵氣體動力學方程組，彈性力學方程組、波動方程以及歐拉方程組廣義解的存在性，具有流函式擾動情形的一般非線性雙曲方程組廣義解的存在性以及具有共鳴現象的各類非線性雙曲方程組廣義解的存在性。對於非線性雙曲方程組，由於解在有限時間裡出現間斷，函式的導數失去意義。在研究廣義弱解過程中，為了利用原有的雙曲方程組所提供的信息，兩種可行的方法是把方程離散化或在雙曲方程組右邊引入拋物粘性項。本項目試圖用具有較好特性的雙曲方程組序列去逼近性質較弱的雙曲方程組。這一思想是新的，而且在某些特殊的問題上己被我們證明是有效的。希望通過本項目的研究為上述所列問題開闢一個新的研究途徑。
結題摘要
改進推廣了補償列緊理論已有框架，並將這一理論首次成功套用到一類多個方程的雙曲守恆方程組上。該成果被雜誌Journal of Functional Analysis以及雜誌SIAM J. Math. Anal. 發表。 審稿人認為文章中的證明方法是新穎和優雅的（novel and elegant）。在文章里我們提出了一些新的思想來推廣套用由世界著名數學家Tartar, DiPerna, Lions (菲爾茲獎得主)發明、發展的補償列緊理論。在2014年申報浙江省高等學校“錢江學者”特聘教授時專家對文章的評論是：“陸雲光在這幾篇文章中（JFA兩篇, SIAM雜誌一篇）, 發現了一類具有任意方程個數的雙曲方程組其粘性逼近解對空間變數導數的可積性可用來代替傳統方法中的熵-熵流對, 從而巧妙地直接利用Curl-Div 引理證明了這類具有任意方程個數的雙曲方程組廣義解存在性。這是一個非常有意義的發現。我們知道，利用著名的Glimm方法對一般的(加某些限制)具有任意方程個數的雙曲方程組我們可得到其解的全變差有界估計。這些有界估計比陸雲光文中所需要的粘性逼近解的對空間變數導數的可積性要強很多, 由此我們可以相信如果花力氣能夠發現一些新的技術對雙曲方程組的粘性逼近解作出一些新的界的估計, 陸雲光這幾篇文章中關於補償列緊理論框架性的工作可被用來解決更一般的任意方程個數的雙曲方程組。這會為任意方程個數的雙曲方程組的研究開避一個新的方向”。
