《雙曲平衡律系統半整體熵解的適定性及其套用》是依託復旦大學，由余磊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：雙曲平衡律系統半整體熵解的適定性及其套用
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：余磊
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
申請人計畫研究具有一般形式的一維雙曲平衡律系統在有限區域上的初邊值問題的半整體熵解（有界變差足夠小，滿足熵條件的弱解）的適定性：任意給定一固定的有限時間區間，是否只要初邊值的有界變差相應地足夠小（依賴於時間段大小），在這一時間區間內熵解在所考慮的函式空間內有存在唯一性和穩定性。一般在沒有耗散邊界條件和外源項函式對角占優的假設下，不存在整體熵解，從而半整體熵解將可能是最優的結果。很多實際問題只用考慮有限時間內解的情況，所以半整體熵解的適定性理論有其廣泛的套用價值。. 為了更好地驅動和完善半整體熵解理論，申請人計畫套用半整體熵解的適定性理論研究雙曲平衡律系統熵解的邊界能控性。尋找能實現此系統邊界能控所要滿足的合理條件，以及具有廣泛適用性的證明方法。結合具體的雙曲平衡律模型，研究其熵解的單側邊界能控性，以填補這方面科研成果的空白。
結題摘要
雙曲平衡律系統的邊界能控性是研究由雙曲平衡律方程所描述的動力系統在特定的環境下，能否通過邊界控制，使得系統（由方程的解所刻畫的）狀態，在有限時間內維持或者發展到目標狀態的學科。該領域的研究成果可以套用到很多實際工程問題，如交通流調度、水利調控和管道輸運。以往關於這方面的研究工作大多是在經典解的框架下完成。但是為了刻畫激波和接觸間斷波等重要的物理現象，有必要考慮熵解這一類廣義解。由於熵解關於時間不可逆且包含間斷，使得研究難度大大增加，至今關於雙曲平衡律系統熵解的邊界能控性，只有一些針對特殊雙曲守恆律（即不帶源項的平衡律系統）的零星研究成果。本課題借鑑了李大潛院士等人論證一維擬線性雙曲系統經典解的邊界能控性所使用的構造方法，從研究一維雙曲平衡律系統的半整體熵解的適定性出發，討論熵解的三個關鍵信息：存在唯一性，正向解和橫向解的等價性和決定區域。並以此為基礎，系統研究了兩類雙曲守恆律方程組：一類是負特徵都是線性退化的雙曲守恆律系統，證明其熵解的精確單側邊界零能控性；另一類是線性退化的雙曲守恆律系統，證明其熵解的精確單側邊界能控性和精確雙側邊界能控性。沿著這一思路，我們進一步研究了帶有源項的雙曲平衡律系統熵解的半整體適應性，並在克服了一些技術上的困難之後，把相應的邊界能控性的結果推廣到一維雙曲平衡律系統。我在方法上有一定的突破性：不同於以往利用波前追蹤方法得到近似邊界能控性再取極限，而是直接利用系統熵解的性質，得到相應的精確邊界能控性。這一結果首次證明了具有一般形式的雙曲平衡律系統的熵解的精確邊界能控性，並給出了最優的控制時間。
