帶耗散結構雙曲方程組解的存在性及漸近性態

《帶耗散結構雙曲方程組解的存在性及漸近性態》是依託河海大學，由徐紅梅擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：帶耗散結構雙曲方程組解的存在性及漸近性態
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：徐紅梅
• 依託單位：河海大學

項目摘要

本項目研究帶耗散結構的雙曲方程組在整個空間的柯西問題解的整體存在性，初始值可分為常狀態附近的小擾動，大擾動以及基本波附近的小擾動等情況，並在解整體存在的情況下，研究解在大時間狀態下的漸近性態，包括解的L-p估計和逐點估計。非線性雙曲方程是經典物理學的基本方程，描述了許多在不同狀態下非線性波的相互作用關係，它在工程技術領域的套用十分普遍。由於考慮問題的不同，雙曲方程可以加上不同的物理效果，如鬆弛，阻滯，粘性，化學反應燃燒等耗散結構。這類方程中最具代表性的是Navier-stokes方程。此類方程組因既有雙曲特性，又有拋物特性，我們不能單純用處理某一類方程的方法來研究它，而且本項目又涉及方程組，多空間維數，大擾動，逐點估計等，這些是公認困難的問題，目前研究成果不多，缺乏系統的方法。我們希望採用格林函式，能量估計，微局部分析和調和分析等工具相結合的方法進行研究。

結題摘要

本項目擬研究帶耗散結構雙曲方程組在R^n空間解的整體存在性和大時間狀態的估計。經過三年的研究，已取得以下成果： （1）帶粘性的雙曲波動方程是典型的雙曲拋物方程，我們在解整體存在的基礎上，研究了此方程在小初值時奇數維空間解的逐點估計； （2）Benjamin-Bona-Mahony方程是研究在非線性擴散媒介中長波傳播的模型，是帶耗散結構的雙曲方程。此方程不同初值情況都得到了很多數學家的關注，取得了很多成果，但大部分結論都是在低維空間得到的。我們結合不動點理論，能量估計，頻譜分析，傅立葉變換等工具證明了此方程在任意維空間小初值時解的整體存在性和最佳L-2衰減估計，然後又得到了解的逐點衰減估計； （3）對流擴散方程描述了物質運輸及擴散的綜合過程，在水利運輸，環境工程，化工和冶金等領域都得到了重視，這也是一個雙曲拋物方程。我們通過構造一個Banach空間柯西序列的方法證明了方程小初值問題解的整體存在性及H^s模的衰減估計。 我們現在獲得的成果都還是在小初值的情況，大初值的情況正在考慮中。但總體來說，我們覺得本項目完成情況較好，達到了預期目標。