帶有衰減位勢的非線性薛丁格方程的解

《帶有衰減位勢的非線性薛丁格方程的解》是依託太原理工大學，由郭祖記擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：帶有衰減位勢的非線性薛丁格方程的解
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：郭祖記
• 依託單位：太原理工大學

項目摘要

變分方法是非線性泛函分析的主要工具之一，是現代數學的重要研究領域，在非線性微分方程等領域有非常廣泛和深刻的套用。但是，當微分方程具有衰減位勢時，微分方程所對應的能量泛函在通常的Sobolev空間沒有定義，這時，變分方法便不能施展它的威力。另外，研究一些特殊方程解的性質，往往能幫助我們理解更一般的微分方程。本項目擬研究的問題就是這些情形，具體內容如下：在環域上帶有Hardy項的超臨界橢圓方程的唯一徑向對稱正解的漸近行為；帶有衰減位勢的非線性薛丁格方程的變號解的存在性。這些問題既是重要的數學問題，處於國際非線性分析領域的前沿，同時也是非常困難的問題，解決起來需要新的方法和思路。本項目將結合變分方法，拓撲方法，截斷技巧和爆破技巧，對上述兩類偏微分方程進行研究，期待能做出出色的工作。

結題摘要

本項目套用變分方法並結合拓撲方法，以及各種分析工具特別是截斷技巧和爆破技巧研究下面兩類非線性橢圓型偏微分方程。一類是帶有衰減位勢的非線性Schrodinger方程，在位勢具有局部山路結構的條件下，我們證明了非線性Schrodinger方程存在多個不同的變號解。並且，通過對解做爆破分析,我們得到這些解具有集中現象；通過構造比較函式，我們還得到了這些解在無窮遠處的衰減性估計。研究結果表明: 位勢函式在無窮遠處的衰減速度及非線性項在無窮遠處的增長速度將影響解在無窮遠處的衰減階。我們研究的另外一類方程是在環域上帶有Hardy項的超臨界橢圓方程。本項目主要研究方程的徑向對稱正解的漸近行為和非退化性質。我們得到此微分方程的徑向對稱正解在p趨近於正無窮時滿足的極限方程和解析表達式。同時也得到了Soboleve-Poincare嵌入常數的極限和解的最大值的漸近展開式。另一方面，由於微分方程不是自治的，我們通過Flower變換將方程轉化為一個自治方程，通過精細的分析，得到解的非退化性質。