《靜態非局部薛丁格方程的奇異位勢理論和定性分析》是依託南京師範大學，由雷雨田擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：靜態非局部薛丁格方程的奇異位勢理論和定性分析
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：雷雨田
- 依託單位：南京師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
含有奇異位勢的非局部薛丁格方程廣泛出現在量子力學，多體動力學，雷射束物理，凝聚態物理等學科中，如今已受到越來越多的關注。在數學領域內，此類方程的研究也促進了非線性分析，經典不等式和幾何分析的發展。 本課題旨在研究幾類靜態非局部薛丁格方程, 包括Choquard型方程, Hartree型方程, Maxwell-Schrodinger方程,以及其它相關方程，包括來源於幾何中的帶有負指數的Lane-Emden型方程，Hardy-Littlewood-Sobolev不等式最佳函式滿足的Euler-Lagrange方程。我們將討論正解的定性性質，包括存在性，可積性，正則性，衰減估計和正解的分類等。 這些定性性質能幫助我們更好地刻畫解的形狀。通過把方程轉化為含有 Riesz位勢，Bessel位勢或Wolff位勢的積分方程，並對這些積分方程進行位勢積分估計，我們希望得到上述非線性方程的定性性質。
結題摘要
含有奇異位勢的非局部薛丁格方程具有鮮明的物理背景，並且與多個當今數學領域的熱點問題的研究密切相關。本課題研究了幾類靜態非局部薛丁格方程, 包括Choquard型方程, Hartree型方程, Maxwell-Schrodinger方程, 帶有負指數的Lane-Emden型方程，Hardy-Littlewood-Sobolev型積分方程。我們探討了正解的定性性質，包括存在性與幾類臨界條件的關係，壓縮映射誘導的正則定理提升的可積性，衰減估計和正解的分類等。幾個重要的橢圓方法起到關鍵作用，包含移動平面法，正則提升引理，雙倍引理，以及Moser疊代等。
