《非局部無窮維動力系統的動力學行為》是依託中國礦業大學，由嚴興傑擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非局部無窮維動力系統的動力學行為
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：嚴興傑
- 依託單位：中國礦業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非局部偏微分方程因其強大的物理背景和廣泛的套用領域，已成為人們研究的熱點。由於目前對非局部偏微分方程的研究主要集中在Banach空間，所以缺少對其動力學行為的研究，從而無法了解非局部運算元對動力學行為的影響。此問題已成為阻礙非局部偏微分方程在理論和套用上進一步發展的重大問題。本項目以非線性泛函分析與偏微分方程的理論為基礎，擬開展非局部偏微分方程動力學行為的研究。研究內容包括：在理論上建立非局部偏微分方程靜態分歧和動態分歧(吸引子分歧)的抽象結果，旨在揭示非局部運算元對其動力學行為的影響；在套用上套用建立的抽象結果，分析具有實際背景的非局部非線性演化方程的動力學行為，為對應自然現象給出合理的解釋。這些研究將進一步改進和完善無窮維動力系統的基本理論，並且為某些實際問題的解決提供新的思路、方法和重要的理論依據。該研究涉及數學的多個分支和許多實際問題，具有重要的理論意義和潛在的套用價值。
結題摘要
對非局部運算元的研究已成為一個熱點問題，人們關於局部運算元(橢圓微分運算元)對動力系統的影響做了大量的研究， 經典的無窮維動力系統的理論都是建立在局部偏微分方程上。局部運算元對整個系統的動力學行為的影響比較清楚。但是，非局部運算元對非局部動力系統的動力學行為產生的影響，尤其是指數的變化對整個系統動力學行為的影響了解的不是很清楚。 相對於局部偏微分方程，非局部偏微分方程解的存在性，正則性等都有很大不同，這些結果已經被證實。但是我們想從另外一個角度，動力學的角度去理解非局部運算元，想揭示非局部運算元對整個系統動力學行為的影響，想知道系統是否會產生不一樣的動力學行為。 以非線性泛函分析和偏微分方程的理論為基礎，研究非局部動力系統的動力學行為，這樣能揭示非局部偏微分方程對應自然現象的本質，為一些自然現象給出合理的解釋。對非局部橢圓方程，證明了正解的存在性，多解性，尤其證明了正解的個數與非線性項位勢極大集拓撲之間的關係，這裡橢圓方程的非線性項為臨界增長；對非局部偏微分方程，證明了非局部運算元是一個扇形運算元，在證明過程中，我們沒有採用傳統的位勢估計的辦法，主要是因為此方法證明過程繁瑣。我們把非局部運算元作為一個奇異積分運算元，採用調和分析中的Calderon-Zygmund定理，用半群的方法，證明了溫和解的存在性，證明了慣性流型的存在性。用Galerking方法證明了強解和弱解的存在，唯一性，證明了拉回吸引子的存在性，揭示非局部運算元指數變化對方程動力學行為的影響。這些研究將進一步改進和完善無窮維動力系統的基本理論，並且為某些實際問題的解決提供新的思路、方法和重要的理論依據。
