《分數階拉普拉斯運算元及其非局部擾動的位勢理論》是依託北京理工大學，由楊婷擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：分數階拉普拉斯運算元及其非局部擾動的位勢理論
- 依託單位：北京理工大學
- 項目負責人：楊婷
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非連續馬氏過程（非局部運算元）的位勢理論具有很強的套用背景和數學意義。本項目將對非局部運算元，特別是分數階拉普拉斯運算元的位勢理論展開研究，包括以下三方面內容：一、研究一般凸區域上分數階拉普拉斯運算元狄立克萊問題的解的凸性。波蘭機率學者T.Kulczycki在2014年對該問題的一種特殊情形做了解答，並對其他情況作出了猜想。本項目擬採用機率論與微分方程相結合的手段，解決Kulczycki的猜想，填補這方面研究的空白；二、在內容一的基礎上，繼續研究凸區域上分數階拉普拉斯運算元特徵值方程解的凸性問題；三、研究分數階拉普拉斯運算元的一類非局部擾動運算元的位勢性質。這類運算元是一類非對稱非連續馬氏過程的無窮小生成元，因此本項目將從隨機過程的角度出發，套用機率與分析相結合的手法對這類過程進行研究。本項目的研究將豐富非連續馬氏過程的理論和研究方法，並為非局部運算元在其他數學領域中的研究提供更多的理論支持和套用實例。
結題摘要
具有非連續軌道的馬氏過程是機率論和隨機過程理論的重要組成部分,而非連續馬氏過程的無窮小生成元一般是非局部運算元，因此對於非局部運算元的位勢理論具有很強的數學意義和套用背景。本項目對非局部運算元的位勢理論及其套用展開研究，主要研究內容和結果如下：研究了分數階拉普拉斯運算元的一類非局部擾動運算元的位勢性質。這類運算元是一類非對稱非連續馬氏過程的無窮小生成元，因此本項目從隨機過程的角度出發，套用機率與分析相結合的手法對這類過程進行研究，得到了這類運算元在有界光滑區域上和無界區域上的熱核的雙邊估計和對應的調和函式的雙邊估計等位勢理論的基本結果；隨後，本項目深入探討了非局部運算元理論在測度值分支過程和自相似馬氏過程等非連續過程中的套用。在測度值馬氏過程方面，本項目套用用非局部運算元位勢理論的結果，建立了底過程為一般Hunt過程的帶奇異分支機制分支馬氏過程和測度值馬氏過程的強、弱大數定理；得到了一般非局部分支機制超過程的脊柱分解的完整表述，並以之為工具得到了超過程的滅絕性質和LlogL準則；得到了帶有一般非局部分支機制的超過程的強弱大數定律；在自相似馬氏過程方面，本項目利用非局部運算元的研究手法，研究了自相似馬氏過程和馬氏可加過程的振盪理論，並將其套用於構造從原點出發的高維自相似馬氏過程。本項目的研究豐富了非連續馬氏過程的理論和研究方法，並為非局部運算元在其他數學領域中的研究提供了更多的理論支持和套用實例。
