《非線性薛丁格方程和自由邊值問題中的典型問題》是依託華中師範大學，由彭雙階擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性薛丁格方程和自由邊值問題中的典型問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：彭雙階
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究起源於量子力學的非線性Schr?dinger方程和流體力學與電漿的自由邊值問題。我們採用非線性泛函分析的理論並利用構造性方法研究非線性Schr?dinger方程在某些具有特定的幾何結構或拓撲性質的區域上或在不同的位勢函式條件下的半經典態的存在性和多解性, 同時對其解的漸近性質及結構和形態等進行分析。關於自由邊值問題，我們用變分方法結契約化技巧研究其非線性奇性退化現象：即其Stokes流函式的存在性，並分析其截面或等離子集的相關性質。本項目所研究的問題是由國際著名數學家直接提出的公開問題或猜想，是偏微分方程中的基本問題,在量子力學和流體力學的研究中有重要意義,受到國內外同行的廣泛關注。
結題摘要
本項目嚴格按照研究內容和研究計畫實施，圓滿完成。 1.研究了平面渦旋問題，在非線性項為超線性和帶有特徵函式的“跳躍”的情形下得到了同時具有多個渦環的流函式。2.研究了帶有線性或非線性耦合項的Schrodinger系統，得到了其任意多解或無窮多正解的存在性。3研究了各種Schrodinger方程和Schrodinger-Poisson系統，如：帶磁場的情形、帶反平方位勢的情形、帶具有緊支集的位勢的情形、擬線性的情形，等等。在不同條件下其（無窮）多解的存在性。4.研究了一類十分典型的帶臨界指標的擬線性方程無窮多解的存在性，給出了這類問題的一些基本的估計。5. 研究了具有重要幾何意義的Yamabe猜想和Heisenburg群上的幾何問題，給出了其多個具有幾何意義的正解的存在性結果。6.研究了一類半線性具有臨界指標的橢圓型方程組，得到了其無窮多解。本項目研究的意義有：1.回答了多位著名數學家提出的公開問題。2.改進並完善了著名的Lyapunov-Schmidt約化理論的理論和套用框架，使得該方法能用於研究非光滑問題和非線性方程組，給非光滑臨界點問題和橢圓系統的變分問題，提出了十分有效的研究方法。3.給擬線性問題的研究指出了新的方法。給出了擬線性問題的先驗估計結果和其解在無窮遠處的衰減性估計，克服了擬線性問題不可疊加帶來的困難。4.對位勢函式與Schrodinger方程解的影響有了更深刻的描述，完善了關於Schrodinger方程的研究結果和技巧。5.對無界或具臨界指標的方程組的研究具有了輪廓性的描述，為後期方程組的研究打下了良好的基礎。 本項目組共發表和接收發表學術論文17篇，參加各類學術會議22次，其中包括出席在台北召開的世界華人數學家大會並作45分鐘邀請報告，應邀出席法國國家數學中心組織的專題會議並作特邀報告。先後出訪澳大利亞、法國、台灣、美國的高等院校和科研機構共8人次，先後邀請澳大利亞、芬蘭、德國、美國、法國的多位知名數學家來訪，共邀請國內外數學家做學術報告30餘人次。先後組織召開了武漢地區偏微分方程研討會前後共6次，為中南地區偏微分方程的發展做出了貢獻。主持人2012年入選了首批湖北省高端人才引領培養計畫並獲得第六屆湖北省優秀科技工作者稱號，獲得了教育部“長江學者和創新團隊發展計畫”。畢業博士生3人，碩士生8人。
