《非線性薛丁格方程解的無條件唯一性》是依託杭州師範大學，由韓征擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性薛丁格方程解的無條件唯一性
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：韓征
- 依託單位：杭州師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
解的無條件唯一性是適定性理論的重要組成部分，是方程研究的基本問題之一。針對冪次型非線性薛丁格方程的無條件唯一性，很多學者採用不同的方法獲得了不少結果，但是該問題仍未得到徹底的解決。申請者在前期工作中對此問題進行了一定的研究，所得結論不僅涵蓋了已有的大部分成果，而且填補了部分空白。. 根據方程的自身特點，本課題擬採用“解的空間正則性指標近似於時間正則性指標二倍”的思路，降低對唯一性討論空間的正則性指標的限制，從而可以選取更寬泛的討論空間，然後分析和控制非線性項的增長，最終說明解的無條件唯一性的成立。. 本課題將發展和完善非線性薛丁格方程的無條件唯一性以及無條件適定性理論。為其他方程無條件唯一性以及適定性理論的發展提供參考。
結題摘要
在本項目中，我們原計畫研究冪次型非線性Schrödinger方程解的無條件唯一性，但在研究過程中遇到現階段無法解決的困難，因此，我們調整了研究內容。目前，我們研究了如下內容：①冪次型 臨界非線性Schrödinger方程解的局部適定性問題；②非共振擾動下，線性Klein-Gordon方程（線性Schrödinger方程組）擬周期解的構造以及相應解的整體有界性問題；③半線性Klein-Gordon方程解的（幾乎）整體存在性問題。 對於問題①，我們得到了在高維情形 下，冪次型 臨界非線性Schrödinger方程在齊次 空間中，特別是一般初值條件下方程解的局部存在性，以及解對初值的連續依賴性。這些結果打破了之前結論中關於小初值的限制條件，極大地豐富和完善了非線性Schrödinger方程解的適定性理論。 對於問題②，我們證明了在一維球面上線性Klein-Gordon運算元（線性Schrödinger運算元）具有安德森局部化性質，進而利用該性質構造了原方程的擬周期解。由於線性方程的解具有唯一性，因此我們可以進一步說明解的範數可以被初值一致控制。關於二階方程的安德森局部化性質，在量子領域特別是為雷射在不同介質中的相互作用關係提供了重要的理論依據。 最後，關於問題③，我們考慮了一維球面上半線性Klein-Gordon方程解的幾乎整體存在性。我們利用法形式方法，說明當非線性項滿足一定零條件結構時，相應的解滿足幾乎整體存在性。值得一提的是，我們所考慮的非線性項可以與時間導數有關，即非線性項將不滿足哈密爾頓結構。針對這一點的結果目前比較稀少。
