源於物理的幾何流研究

《源於物理的幾何流研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由王友德擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：源於物理的幾何流研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：王友德
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

關於經典物理方程在微分流形上的非線性分析是幾何分析的重要研究內容，不論薛丁格流還是KdV流均是源於物理的哈密爾頓幾何流，有著豐富的幾何結構和性質。本項目旨在從幾何角度用內蘊的方法研究物理中的系列經典發展方程，同時也通過研究一些物理量的幾何意義來探索微分幾何中更具研究價值的數學問題。具體的說，我們將研究薛丁格流與KdV流的適定性和爆破問題以及以薛丁格流、KdV流為基礎的一系列幾何流的分析性質、幾何性質和動力系統性質，運用變分法或拓撲度理論深入研究各類流的幾何孤立子的存在性問題。我們將從閔科夫斯基空間進入凱萊流形的薛丁格流、Ishimori流、波映射等的研究入手，分析其帶有渦旋結構的渦旋解（孤立子解）的存在性。此外，由於本項目所涉及的幾何流與渦絲運動關係密切，渦絲理論在微分幾何層面的推廣、可積系統與物理和微分幾何之間的關係等也是我們的重要目標。

結題摘要

本項目以流體力學為背景、從無窮維辛幾何的觀點提出了一個新的內蘊幾何流--命名為重薛丁格流，這種流是從黎曼流形進入凱勒或仿凱勒流形的映射的漢密爾頓流。本項目研究了這種流與對稱李代數值的四階薛丁格方程的等價關係及與經典物理模型的直接關係。另一方面，本項目研究了薛丁格流的更優的唯一性，非均勻薛丁格流的周期解的存在性；也構造了薛丁格流、波映射的具有各種渦旋結構的解，特別，波映射的具有渦旋結構的解為首次發現。作為薛丁格流的孤立子解的調和映射或帶位勢的調和映射，本項目證明了關於阿爾法調和映射收斂時產生泡泡時在某些幾何條件下所滿足的能量不等式；給出了平面上進進球面、具有有限能量的帶某類特殊位勢的等變調和映射存在時，位勢函式所滿足的充分必要條件。