《物理中的幾何流與幾何孤立子》是依託中央財經大學，由孫曉偉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：物理中的幾何流與幾何孤立子
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：孫曉偉
- 依託單位：中央財經大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
對物理與微分幾何中非線性發展方程的研究一直備受數學家們關注。薛丁格流、KdV幾何流則分別成功把兩類經典物理方程推廣到了Kahler流形上，並得到了一定曲率條件下的整體存在性。以此為基礎，本項目主要研究一般情形下KdV流的整體存在性；探索物理中幾類典型發展方程在Kahler流形上統一的幾何描述，我們擬給出一個新的幾何模型來統一復向量值修正KdV方程，薛丁格方程，導數非線性薛丁格方程，Airy方程，Da Rios方程，渦絲運動方程等物理方程，對新幾何流的研究尤其關於整體解的存在性研究將對這些物理方程自身的適定性研究有重要意義；本項目還將研究KdV方程在黎曼流形上的幾何推廣並探索其守恆率的構造和整體存在性結果。另一方面，我們給出幾何孤立子的概念，這是一類具有對稱性的幾何流的整體解，可以推廣薛丁格方程、KdV方程的孤立子解。我們將深入研究幾何孤立子的幾何性質和存在性, 並探索典型流形上具體的例子。
結題摘要
對物理與微分幾何中非線性發展方程的研究一直備受數學家們關注。薛丁格流、KdV幾何流則分別成功把兩類經典物理方程推廣到了Kahler流形上，並得到了一定曲率條件下的整體存在性。在此基礎上，本項目研究探索了物理中幾類經典方程在流形上統一的幾何描述，我們提出了薛丁格-Airy幾何流的定義來統一復向量值mKdV方程，薛丁格方程，導數非線性薛丁格方程，Airy方程，渦絲運動方程等物理方程；同時我們還在完備黎曼流形上定義了一類新的幾何流，它既與推廣的三維Landau-Lifshit方程有密切關係，同時也可以看做上述薛丁格-Airy流的在目標流形帶有常全純截面曲率時的特例，有其特殊的意義。這兩類幾何流問題我們均研究討論了他們的局部存在性、正則性情況，並在一定條件下得到了整體存在性的結果。另一方面，我們提出了幾何孤立子的概念，這是一類具有對稱性的幾何流的整體解，可以推廣薛丁格方程、KdV方程的孤立子解，並在幾何層面可以看到孤立子解本質上與底空間及目標空間中的等距變換有關。此外我們還給出了一些典型曲面上的與薛丁格流、KdV流有關的幾何孤立子的具體的例子。最後，本項目的後續研究中我們將繼續深入研究KdV方程在黎曼流形上的幾何描述以及相關的幾何孤立子問題。
