KdV曲線與KdV孤立子

《KdV曲線與KdV孤立子》是依託廈門大學，由宋翀擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：KdV曲線與KdV孤立子
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：宋翀
• 依託單位：廈門大學

項目摘要

KdV流的引入是最近一個十分引人關注的重要工作，它成功地把經典KdV方程推廣到一般流形上。本項目主要研究KdV流方程的兩類特殊整體解以及相應的幾何問題。KdV流的穩定解定義了一類特殊的幾何曲線，我們稱之為KdV曲線。這類曲線可以視為測地線的三階近似，有重要的幾何意義。另一方面，我們引入了KdV孤立子的概念。這是一類具有自對稱性的KdV流整體解，它推廣了經典KdV方程孤立子解的重要思想。我們將研究KdV曲線的幾何性質，並在常曲率流形上構造出具體的KdV曲線和KdV孤立子的例子。更重要的是我們將套用Floer同調理論在KdV曲線和KdV孤立子的數目和流形的拓撲之間建立聯繫，得到KdV曲線的多重存在性結果。KdV曲線和KdV孤立子不僅有著強烈的物理背景，有趣的歷史淵源，以及自身重要的幾何意義，並將有力推廣Floer理論的套用，且對一般KdV流的深入研究提供重要依據

結題摘要

該項目主要研究KdV孤立子以及相關幾何問題，主要分為三個部分。 1.幾何孤立子。KdV流源自流體力學中對渦絲運動的研究，KdV孤立子是其一類具有特殊幾何和物理意義的解，了解孤立子解對了解渦絲運動和流形結構有著重要的意義。我們把首先提出KdV孤立子的概念，並把它推廣到一類哈密爾頓系統中，進而利用這個觀點解釋了渦絲運動方程的孤立子和磁測地線的密切關係。 2.反平均曲率流。反平均曲率流是渦絲運動方程的自然幾何推廣，也是一類重要的幾何薛丁格型方程。我們證明了2維反平均曲率流的局部存在性，這是該方向第一個高維的存在性結果。 3.楊-米爾斯-希格斯場的收斂性。YMH場是量子理論的重要基石，也是數學中定義辛流形不變數的基礎。我們深入研究了YMH場的收斂性，這一結果統一了以往許多調和映照和全純曲線的收斂及爆破結論，並為在辛幾何中相關套用鋪平了道路。