《可積系統及其在微分幾何中的若干套用》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由王二小擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：可積系統及其在微分幾何中的若干套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王二小
- 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
可積性系統作為數學和物理中多分支交叉的領域，其在微分幾何有著越來越廣闊和重要的套用，其中包括了經典微分幾何里最有趣的常中曲率曲面（肥皂泡）和常負高斯曲率曲面（偽球面）。可積性系統背後隱藏的對稱性常常大到要用無窮維李群李代數來表示。申請人長期致力於它們在高維及任意Kac-Moody李代數時的推廣、構造和套用，成功解決了此領域兩個長期公開的難題。本項目將具體研究三方面問題：1.探索高次橢圓系統對應的幾何對象，計算B?cklund型變換，構造DPW型顯式解，並探索這類幾何對應的變分問題；2.系統研究規範群為任意緊單李群時的Ward方程的多孤子解，構造到該李群的所有有限uniton的調和映射，進一步探索更一般的自對偶Yang-Mills方程的特殊解；3.深入研究六維球面中一類近復環面的存在性問題，以此為經驗系統研究孤立子子流形中其它環面的存在性問題，嚴格的澄清比較方程和自由參數個數的方法的有效性。
結題摘要
可積系統是數學物理多分支交叉領域，在微分幾何有廣闊重要套用，包括經典幾何里的肥皂泡和偽球面。其背後隱藏的對稱性常大到要用無窮維李群李代數來表示。本人長期致力於其在高維及任意Kac-Moody 李代數的推廣、構造和套用，成功解決了此領域兩個難題。本項目將研究三類問題：1.探索高次橢圓系統對應的幾何對象，計算Bäcklund 型變換，構造DPW 型顯式解，並探索這類幾何對應的變分問題；2.系統研究規範群為任意緊單李群時的Ward 方程的特解，構造到該李群的所有有限uniton 的調和映射，進一步探索自對偶Yang-Mills 方程的特解；3.深入研究六維球面中近復環面的存在問題，以此為經驗系統研究孤立子子流形中其它環面的存在性問題，嚴格澄清比較方程和自由參數個數的方法的有效性。 完成概述：第一類及第三類問題有多篇預印本投遞或待發表中，已發表出來一篇，我們基本按照計畫執行了。但第二類問題仍然在進展中，並做出了延後調整。這是因第一類問題的研究取得了重要突破(與Dorfmeister教授合作)後，我們立即將研究重點放在了定仿射球面的各種構造，以推廣Loftin-Yau-Zaslow用特殊仿射球面構造鏡像對稱猜想例子的重要工作，這也是當前備受關注的前沿課題。而在香港訪問後，與代數學家的交流也讓本人將研究重點放在了推廣Rossmann和Matsuki的奠基性工作到無窮維環群。第三類問題的進一步深入研究在寧波大學開會期間得到了Bobenko教授的關鍵指點，困擾我多年的構造性難題終於看到了成功的希望。香港科大訪問中，本人和孟國武教授及其博士生白占強一起成功將帶磁荷的克卜勒問題推廣到任意奇數維空間時的軌道給出了幾何刻畫。
