《離散可積系統與橢圓函式》是依託上海大學，由張大軍擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：離散可積系統與橢圓函式
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張大軍
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
離散系統及其可積性的研究在過去20年中取得很大進展，並推動了離散複分析、離散微分幾何等新的數學工具的發展，為目前研究差分方程和離散系統一般理論提供了有效途徑。本項目將主要關注以下3個方面。1、橢圓函式在離散系統中的套用。研究離散系統的橢圓化途徑，利用橢圓函式性質構造離散可積系統的精確解。2、離散系統的可積特徵。從Lax對及擬差分運算元出發研究離散系統的可積特徵，探索可積特徵之間的內在聯繫。3、具有非勢形式(non-potential form)的離散可積系統。尋找多維相容系統的非勢形式，發展相關研究方法，重點研究非勢形式的離散Kadomtsev-Petviashvili方程。藉此研究實現認識離散可積系統，發展離散系統的數學方法的目標。
結題摘要
近年來離散可積系統和特殊函式理論的進展帶來差分方程理論的革命，形成了一個集複分析、代數幾何、表示論、伽羅華理論、譜分析、特殊函式理論、圖論、差分幾何等諸多數學物理分支於一體的新領域。本項目主要研究橢圓函式在離散系統中的套用、離散系統的可積特徵、具有非勢形式的離散可積系統等，目的在於進一步認識離散可積系統，發展橢圓函式理論和離散系統的數學方法，同時繼續關注多維相容系統的構造以及多維相容性在可積性研究中的套用。具體研究成果包括：1、利用橢圓曲線定義離散色散關係，並建立了直接線性化方法的橢圓格式，2、探討了Sylvester矩陣方程與連續可積系統的聯繫，3、建立了基於Sylvester方程的可積系統的橢圓化途徑，4、提出了“相容三重組”的概念並套用於構建離散可積系統有理解和周期解，5、發展了基於譜問題和散射數據構造多維相容系統無窮守恆量的方法，6、研究了在直接離散中保持可積性的途徑，7、給出了半離散AKNS系統非平凡守恆律的組合學公式並建立了嚴格的連續極限，8、建立了半離散KP系統與半離散AKNS系統的平方本徵函式對稱約束聯繫，9、構造了一族多維相容的二元離散可積系統，10、對離散Boussinesq系統的研究，11、完成了基於Wronskian的修正KdV方程的解的完整分類，12、提出了求解非局部方程的雙線性-約化方法。這些研究使我們對離散和連續可積系統的數學結構有了更加深刻的認識。所獲成果都具有原創性，或建立了新的框架，或發展了新的方法，或揭示了新的聯繫。項目執行期間，共有4名碩士研究生、6名博士研究生畢業，一位博士後出站；共發表SCI收錄論文18篇。我們滿意地完成了該項目。
