離散可積系統的Darboux變換，精確解及其解的動力學性質

《離散可積系統的Darboux變換，精確解及其解的動力學性質》是依託上海交通大學，由朱佐農擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：離散可積系統的Darboux變換，精確解及其解的動力學性質
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：朱佐農
• 依託單位：上海交通大學

項目摘要

離散可積系統理論是可積系統理論的一個重要部分，它和許多研究領域, 如數值分析，統計物理，數學生物，差分幾何，弦理論，特殊函式，量子群，量子場論 等密切相連。本項目研究若干在數學和物理中重要的離散可積方程簇 （包括均勻譜和非均勻譜，無窮晶格和有限晶格，經典的和量子的，微分-差分方程和差分方程）的Darboux變換理論及其套用。主要涉及離散可積方程簇（如2+1維非均勻譜相對論的Toda方程簇，Suris有限晶格方程簇，經典的和量子的離散Painleve方程簇，一些新的高維離散可積方程簇等）的Darboux變換的構造，將Darboux變換套用於求這些離散可積方程簇的有物理意義的精確解，並對解的動力學性質作深入的分析。本項目研究探索的內容將試圖解決離散可積系統的Darboux變換理論中的若干重要而困難的問題，從而使人們能更深刻地理解、闡述、揭示離散可積系統所刻化的物理模型的本質。

結題摘要

本項目按研究計畫順利進行，在研究計畫確立的若干研究問題上取得令人關注的成果，同時在和研究要點密切相聯繫的一些新的研究問題上取得重要進展。本項目執行期間，國內外學術交流活躍，人才培養取得好成績。已取得的研究成果主要包括：（1）對若干在數學和物理中重要的離散可積方程（如Suris半離散可積方程，半離散mKdV方程系統， Volterra方程系統，高階半離散mKdV方程）構造了它們的Darboux變換。套用Darboux變換求出了這些離散可積方程的孤子解。這對於人們深刻理解這些離散可積系統的可積性是重要的。（2）由於離散孤子解的結構較為複雜，使得離散孤子解的動力學性質分析更為困難。我們深入地分析了若干離散可積方程的精確解的動力學性質，揭示出這些離散孤子解與連續可積系統孤子解的不同的一些新特徵。 通過對一個Suris半離散可積方程的孤子解的相互作用的理論分析，我們發現存在著這樣一種離散孤波：振幅小的孤波的傳播速度比振幅大的孤波的傳播速度快。離散孤波的這個性質在連續可積系統中是不存在的。（3）非交換的離散可積系統是可積系統理論中的一個重要研究對象，由於非交換性，大大增加了研究非交換的離散系統的可積性的困難。藉助於考慮一個半離散矩陣Ablowitz-Ladik均勻譜和非均勻譜問題，我們獲得了一個新的矩陣半離散可積方程簇。對應於非均勻譜，我們證明了這個矩陣半離散可積方程的連續極限是一個矩陣變係數mKdV方程，這個矩陣半離散可積方程的靜態流產生出一個矩陣離散的2階Painleve方程。這個結果為非交換的離散可積系統和非交換的離散Painleve方程增加了新的內容。（4）研究離散可積方程的可積性質（如Lax對，Darboux變換，精確解，守恆律）的連續極限和對應的連續可積方程系統的可積性理論之間的關係是一個困難而有意義的問題。怎樣建立連續可積方程的可積離散格式，使得這個離散格式的可積性在連續極限下導致到連續可積方程的可積性是人們期望的。我們研究了一個半離散mKdV方程系統，一個Volterra方程系統，一個高階半離散mKdV方程的連續極限理論，證明了在連續極限下它們的可積性（包括Lax 對，Darboux變換，孤子解，無窮守恆律 ）導致到對應的連續可積系統的可積性。這些主要研究成果已經總結成14篇文章，分別發表在有重要影響的國際和國內學術期刊上。