《離散與連續的有限維可積系統及其套用》是依託鄭州大學，由曹策問擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：離散與連續的有限維可積系統及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：曹策問
- 依託單位：鄭州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
用非線性化方法構造新的離散與連續有限維可積系統。通過分解、拉直、反演的框架方法，將它們套用於計算離散與連續孤子方程的有限帶精確解析解。.離散情形：通過相容方法和Darboux變換等途徑尋找新的離散譜問題，用以生成新的可積辛映射。重點開發用母函式尋找非線性約束條件、用Riemann面上的Abel微分方法實現離散流在Jacobi簇上拉直等關鍵技術。此外，將偽球面離散運動與離散sine-Gordon模型中可積辛映射的關係推廣到其它系統。.連續情形：一方面，研究3階譜問題產生的有限維可積系統，著重解決相應3葉Riemann面的Jacobi簇中Hamilton流的拉直等關鍵技術問題，以此為基礎計算Davey-Stewartson方程、三波方程等重要套用模型的有限帶精確解。另方面，對2階譜問題產生的有限維可積系統，用Lax-Moser矩陣的代數結構進行分類研究。
結題摘要
在離散可積方程和可積辛映射的生成、離散孤子方程精確解的計算方面，發展出一套有效的框架方法，取得了一系列創新成果。對連續型可積方程的研究，也做出了重要推進。 1．發展出一套有效的可積離散化方法，從連續模型的譜問題出發，利用相容條件找出離散譜問題，組成Lax對，生成離散孤子方程。成功地套用於KdV、SG、AKNS、Liouville等孤子族，導出一批新的離散與半離散可積方程。此外，對Kaup-Newell族、KM族、dSKdV族、三角Gaudin模型等的套用，亦取得成功。 2．首創離散版本的非線性化方法，由離散譜問題生成可積辛映射。其中找到了正確的非線性化約束條件，對一系列基本案例獲得成功。此外，利用外微分工具證明同一Liouville平台上的兩個可積辛映射的可換性，為離散可積方程精確解的計算奠立了基礎。 3．制定出離散版本的Burchnall-Chaundy理論，為計算離散可積方程精確解提供一個有效的框架方法。出發點是前述的離散型非線性化約束條件。由此導出一系列基本工具，包括可積離散流與有限虧格位勢，Dubrovin-Novikov公式與Baker函式的因子，離散流在Jacobi簇上的拉直。利用此種工具，有效地算出一系列全離散可積方程的有限虧格解，包括著名的ABS單子中譜參數空間虧格為零情形的全部方程，即H1，H3(0)和Q1(0)，全離散的KdV，SG和MKdV方程，以及ABS單子外的幾個方程，包括AKNS族導出的三個新的全離散可積方程，和Veselov的離散化C Neumann系統。 4．連續可積模型的研究方面。（1）對於Liouville可積性中函式獨立性難題，利用Jacobi簇上母函式流的拉直，一舉求出相空間中保持積分獨立性的稠密開子集。（2）溝通帶奇性的Rosochatius系統與KdV方程，用於計算KdV方程的Its-Matveev解。（3）發現同時支撐眾多離散與連續可積模型的Liouville大平台。
