李超代數上符號計算問題及其在超可積系統中套用

《李超代數上符號計算問題及其在超可積系統中套用》是依託上海大學，由夏鐵成擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：李超代數上符號計算問題及其在超可積系統中套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：夏鐵成
• 依託單位：上海大學

中文摘要

基於有限維Lie超代數和對應loop代數，利用屠格式構造新矩陣譜問題以及相聯繫的超非線性演化方程族機械化算法。我們將把挑選超對稱孤子方程推廣到超對稱理論上去。超演化方程族的代數幾何性質，包括具有超Hamilton結構、對稱約束下的有限維可積系統和無窮多守恆律將通過計算機代數的方法給與分析。機械化的算法與多樣的軟體是研究矩陣譜問題和超演化方程Liouville可積性的重要工具。與此同時超非線性演化方程（組）對稱問題也是數學、力學及工程中經常遇到的重要問題。在研究新方程對稱過程中，會出現新的、大量的超定偏微分方程組，套用吳微分特徵列和符號計算是研究此問題重要工具。編製程序並找到新的對稱是解決對稱問題的關鍵，同時也為對稱問題奠定理論與技術基礎。因此通過本項目研究，不僅使非線性超可積系統算法和理論得到提升，強化多學科間相互交叉，促進微分形式吳方法進一步發展。

結題摘要

四年來在全體成員的努力下，我們已取得較好的研究成果，發表論文30餘篇，編製程序一個。項目是把上一個項目從Lie代數推廣到Lie超代數、可積系統推廣到超可積系統。在五方面項目取得重要進展。一是在可積系統，超可積系統方面取得進展，發表論文20餘篇；二是在非線性PDE，分數階PDE 求解方面取得進展，發表論文 3篇；三是在代數曲線，黎曼面上的代數幾何解方面取得進展，發表論文5 篇；四是在 Riemann-Hilbert 問題方面與可積系統結合方面取得進展，已獲得Chen- Li-Liu 方程初值問題在半直線上的成果；五是在分數階差分混沌系統在保密通訊領域中（信息安全）方面取得進展，已完成投出論文3篇，編制軟體包一個。其中後三方面的研究是根據國際數學物理進展及國家戰略需要而進行調整的。而這三個方面的研究都是有些難度的，比如說代數曲線虧格的研究、Riemann-Hilbert 問題中跳躍矩陣的研究以及混沌系統在保密通訊領域中（信息安全）的研究，都是非常有難度的工作，但研究工作越是困難，都是課題組成員極好鍛鍊機會，可使博士生更能掌握研究理論與方法。本項目在探索可積系統，超可積系統與代數曲線和黎曼面上的代數幾何解問題的研究為我們今後的研究打下了堅實的計算與理論基礎。