可積差分方程的構造和可積性質研究

《可積差分方程的構造和可積性質研究》是依託江蘇師範大學，由周汝光擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：可積差分方程的構造和可積性質研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：周汝光
• 依託單位：江蘇師範大學

項目摘要

可積差分方程比連續可積方程更基本、結構更複雜，其可積數學理論正快速發展中。本項目將構造新的可積差分方程和研究可積差分方程的可積性質。主要研究內容有：（1）構造多組份可積差分方程和研究它們的性質；（2）建立差分方程的Lax對、對稱、守恆律、積分之間的關係；（3）研究有限維可積系統的可積形變和離散化；（4）研究有限維超可積Hamilton系統的可積理論和離散化。通過本項目的研究，希望進一步豐富可積系統學科的數學理論，深化可積差分方程的理解。

結題摘要

本項目圍繞新的可積離散方程的構造和可積性質的研究開展了一系列的研究，獲得的成果主要有：（1）提出“跳”的技巧，構造了雙組份的ABS格，證明這些系統是多維相容、有Lax表示和Bäcklund變換；（2）發現了一系列新的多組份或高維的具有Peakon解類Camassa-Holm方程，得到含一個任意函式的有peakon解的2分量可積系統、一個含有三次非線性項並具有peakon解的3分量的系統和一個(2+1)維的Camassa-Holm方程；（3）研究了約束mKdV流的Bäcklund變換的Rosochatius形變，獲得了一個新的可積辛映射。證明該系統具有Lax表示並給出了它的不變數。該工作表明約束mKdV流的Bäcklund變換的Rosochatius形變就是Rosochatius形變後的約束mKdV流的Bäcklund變換，即Bäcklund變換和Rosochatius形變可交換；（4）發現Rosochatius形變來自於 sl(2,C)李代數的不同實現，提出從已知的sl(2,C)李代數實現構造新的實現的算法，得到了多次Rosochatius形變的有效算法，證明有限維可積系統的可進行多次Rosochatius形變；（5）提出了基於Bäcklund變換的可積系統的離散化方法。證明了適當的Bäcklund變換的套用可將方程的關於空間變數的偏導數項取代為差分項，由此得到空間變數離散化的微分差分方程族，直接溝通了連續可積系統與可積微分差分方程之間的關係；（6）拓展了譜問題非線性化方法到sl(2|1)超李代數矩陣譜問題，獲得新的有限維可積超（對稱）Hamilton可積系統；（7）構造了sl(2|1)超李代數下超KdV方程族的Darboux變換，發現了一個新的具有兩個離散變數的超對稱全離散的超（對稱）全離散位勢KdV方程；（8）獲得了一些連續的和離散可積系統的新的精確解。 研究成果豐富了離散可積系統的研究對象，提出了可積系統的一些新方法，溝通了各類可積系統之間的聯繫，深化了對可積系統的理解。