《負階孤立子方程及其有限帶解》是依託東南大學，由陳金兵擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：負階孤立子方程及其有限帶解
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：陳金兵
- 依託單位：東南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
該項目擬將以對1+1維負階孤立子方程顯式求解為主線，致力於研究：1、負階孤立子方程的雙Hamiltonian結構，無窮守恆律，Lax相容性等可積特徵；2、負階孤立子方程在辛子流形上的Neumann型有限維可積約化，實現其變數分離；3、探明1+1維負階流作用的有限維不變子空間，並建立有限帶勢與反向Neumann勢之間的直接聯繫；4、製作Abel-Jacobi變數，在Riemann面Jacobi簇上拉直相關1+1維負階流，明確其在Liouville-Arnold意義下的可積結構；5、最終套用代數曲線理論和複分析，經Jacobi反演顯式寫出負階孤立子方程有限帶勢的Riemann theta函式表示，揭示其擬周期機制。據此，研究內容將豐富有限維可積系統的研究對象及其數學理論，從而進一步發展無窮維可積系統的有限維可積約化理論及反向Neumann型系統在1+1維負階孤立子方程解析求解中的套用。
結題摘要
根據原研究計畫，我們圓滿地完成了各項預訂任務。由Lenard運算元K的核，導出了包括負階Jaulent-Miodek系統，負階耦合Harry-Dym系統(當α=-1/4時，即2元Camassa-Holm方程)，負階Kaup-Newell系統等一批新非局部可積非線性發展方程，並識別其在Lax相容性和雙Hamiltonian結構意義下的可積特徵。基於Lax對非線性化，在球叢或橢球叢上將一個負階可積系統約化為兩個反向Neumann型系統，並證明所得反向Neumann型流的Liouville可積性，實現其便捷求解。藉助於Lax對非線性化中的對稱約束，我們提出負階Novikov方程，它在負階流的作用下從無窮維函式空間截出一個有限維不變子空間，並明確反向Neumann型系統的對合解經Neumann映射直接生成負階可積系統的有限參數解，及其有限帶勢，為進一步解析求解非局部可積非線性發展方程提供理論依據。從反向Neumann型系統的橢圓變數出發，製作1+1維負階流的Abel-Jacobi變數，實現1+1維負階流在緊Riemann面Jacobian簇上的有限帶積分，探明其Liouville-Arnold可積結構。進而將譜位勢表為橢圓變數的對稱函式，結合Riemann定理和跡公式，探討了1+1維負階流Abel-Jacobi解的Riemann-Jacobi反演，從而顯式寫出負階可積系統有限帶勢的Riemann Theta函式表示。綜上，該項目建立了反向Neumann型系統與負階可積系統之間的直接聯繫，提供一個系統、有效的方式尋求非局部可積非線性發展方程的擬周期解，進一步發展了反向有限維可積系統的套用，以及負階可積系統的有限帶積分理論。
