《Lie群和Lie代數方法在可積系統中的套用》是依託鄭州大學，由杜殿樓擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Lie群和Lie代數方法在可積系統中的套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：杜殿樓
- 依託單位：鄭州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
隨著孤立子理論的深入和發展，發現了為數眾多的可積系統。如何用一個統一的框架來處理可積系統已成為一個重要的課題。本項目將以Lie群、Lie代數為工具來探討這一問題。在二階譜問題對應可積系統Lie-Poissn結構的基礎上，本項目擬從以下幾個方面開展工作：建立高階譜問題對應可積系統的Lie-Poisson結構和Poisson幾何理論；用Lie群和Lie代數表示理論來闡明對應於同一無限維可積系統的有限維約化可積系統之間的關係，並給出分類；構造保Poisson結構的典則變換尋找可分離的典則坐標，利用Hamilton-Jacobi理論給出作用-角變數；藉助代數幾何知識，通過Jacobi反演用Riemann-Theta函式表示原系統的解。本項目的實現對豐富和深化可積系統的理論具有重要意義，其結果將有助於可積系統理論的進一步研究和套用。
結題摘要
可積系統的結構和可積系統之間的關係一直是孤立子理論的重要研究課題。本項目就此問題展開了研究，主要得到以下結果： (1)解決了二階譜問題對應有限維可積系統之間的關係問題; (2)建立了高階譜問題對應可積系統的Lie-Poisson結構和Poisson幾何理論; (3)構造出保Poisson結構的典則變換找到可分離的典則坐標，利用守恆積分母函式的Hamilton-Jacobi理論給出作用-角變數； (4)藉助代數幾何知識，通過Jacobi反演用Riemann-Theta函式表示原系統的解； (5)利用Lie代數擴展理論引入相應Poisson結構，並由此構造新的有限維可積系統，得到了擴展的Gaudin模型、Garnier模型及Neumann模型，為獲得新的有限維可積系統提供了新途徑。 這些結果對豐富和深化可積系統的理論具有重要意義，其方法將有助於可積系統理論的進一步研究和套用。
