《Lie群與微分方程的可積性》是依託吉林大學，由張錦擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Lie群與微分方程的可積性
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張錦
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Lie群理論在非線性微分方程的研究中起著非常重要的作用, 其強有力的無窮小分析技巧, 即對稱技巧已經被廣泛的套用到數學物理和力學問題中. 而微分方程的可積性是微分方程研究領域的一個重要課題. 因此, 利用Lie群理論來研究微分方程的可積性是一個非常重要的研究課題. 本項目中, 我們擬研究Lie對稱群、廣義對稱群與微分方程的可積性之間的聯繫, 具體如下: (1)考慮利用廣義對稱得到微分方程的積分因子, 進而研究微分方程的可積性, 並給出所得到的積分因子結果與標準的階的約化過程之間的聯繫; (2)考慮利用Lie對稱、廣義對稱得到更一般的微分形式的積分因子的存在性, 進而研究微分形式的可積性; (3)考慮利用廣義對稱得到微分系統的可積性, 並以此對微分系統加以分類.
結題摘要
Lie群理論是Sophus Lie在19世紀末期研究微分方程的求解過程時引入的，它在非線性微分方程的研究中起著非常重要的作用。而微分方程的求解和可積性問題是微分方程研究領域的一個重要課題。因此，利用Lie群理論來研究微分方程的求解和可積性是一個非常重要的研究課題。本項目中，我們主要研究了λ-對稱與常微分方程的積分因子，首次積分以及可積性的關係，並給出了所得到的積分因子結果與標準的階的約化過程之間的聯繫；研究了二階以及三階常微分方程的特殊形式所存在的Lie對稱，並由此對方程進行約化，進而對可用此方法約化的方程加以分類；研究了Henon-Heiles系統的Lie對稱的分類，並進一步利用可解結構給出該系統在特定參數條件下階的約化過程；研究了一類Kuramoto-Sivashinsky方程以及一類改進的Boussinesq方程的Lie對稱群的存在性，並得到了相應的群不變解。
