非線性物理學中若干機械化算法的研究

《非線性物理學中若干機械化算法的研究》是依託華東師範大學，由陳勇擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性物理學中若干機械化算法的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：陳勇
• 依託單位：華東師範大學

項目摘要

非線性系統精確求解研究是非線性物理的主要組成部分，其涉及很多領域（光學、通訊、超導、生物、經濟、海洋和大氣等）。數學機械化的研究為國際自動推理的研究開闢了新的前景。計算機符號和數值計算有機結合已成為研究非線性問題的主要特徵。非線性Schr?dinger和Navier-Stokes方程是非線性科學中普適性很強的兩個基本方程,已經在幾乎所有的物理分支及其它自然科學領域得到了廣泛套用。本課題通過以這兩個方程為代表的一類數學物理方程的精確求解和動力學分析，開展非線性物理問題的自動算法研究：探索高維高階非線性發展方程代數求解方法和自動推導；發展李群最佳化理論和研究其機械化算法；按保結構算法思想離散可積系統，求解非線性可積系統和小擾動的可積系統初邊值問題,並將本課題研究成果套用於光孤子通信、玻色-愛恩斯坦凝聚、光子晶體、聲子晶體、大氣和海洋動力學等方面研究。

結題摘要

數學物理研究的趨勢是計算機成為研究中越來越重要的工具。本項目基於符號計算，利用計算機進行分析與推理,並與傳統的數值計算有機結合，開展了以下非線性數學物理中的重要問題的研究： 1.對稱理論中最佳化系統的機械化實現。針對有限維Lie代數一維最優系統的構造，首次提出了一個機械化算法，並在Maple上開發了相應的算法實現軟體包 ONEOptimaI，以實例說明了該算法的有效性和實用性。對高維的最佳化系統已有了突破性進展。 2.非局域對稱理論和機械化算法實現。 提出了一個非局域對稱的機械化算法，在平台Maple上編寫了軟體包NONSymmI,並以KdV型等方程為例，證明了其有效性和實用性。發現了重要孤子方程的橢圓周期波和孤立子的相互作用解，以及Painleve波和孤立子的相互作用的嚴格解；另一方面，給出了勢KdV型方程的負可積梯隊和其他新的可積系統。 3.Bell多項式可積性研究和機械化實現。設計了一個構造KdV-型方程雙線性形式、雙線性Backlund變換、Lax對和無窮守恆律的機械化算法。開發了實現該算法的軟體包PDEBellII。 程式包也適用於mKdV-型方程雙線性形式的自動推演。將Bell多項式方法套用到一些(1+1)維、(2+1)維和變係數非線性演化方程可積性的研究。 4. Riccati型偽勢構造非局域對稱的機械化算法。編寫了軟體包NONSymmII，由此求得了變係數fKdV方程的Lax對、AKNS形式的Lax對、Auto-Backlund變換和奇異流形方程；利用五階Lax方程的Riccati型偽勢和廣義KP方程的Lax對，分別得到了它們相應的非局域對稱，通過對非局域對稱進行局域化，進一步研究了它們相應的有限對稱變換和對稱約化。 5. 用漸近分析、矩陣黎曼-希爾伯特方法、Deift-Zhou非線性速降法研究了類階梯初值的Gerdjikov-Ivanov型導數薛丁格方程的長時間漸近行為。運用多項式遞歸公式、有限虧格的超橢圓曲線、Baker-Akhier函式、亞純函式等工具，獲得了整個Hunter-Saxton系列、Gerdjikov-Ivanov系列、Degasperis-Procesi系列的theta函式顯式表示的代數幾何解。其中DP系列解決的是困難的3階代數曲線。