非線性系統的拉克斯對、對稱性及求解研究

《非線性系統的拉克斯對、對稱性及求解研究》是依託寧波大學，由李彪擔任負責人的國家自然科學基金資助專項基金項目。

基本介紹

• 中文名：非線性系統的拉克斯對、對稱性及求解研究
• 依託單位：寧波大學
• 項目負責人：李彪
• 項目類別：專項基金項目

項目簡介

本項目將基於符號和數值的計算機處理方法，研究非線性系統的機械化求解及其套用。具體包括四個方面：一，研究非線性系統有用Lax對、對稱性和精確解的理論和方法，提出和發展求解非線性系統Lax對、一般對稱群和精確解的機械化算法；二，研究近可積非線性系統的數學結構，發展一個高精度、可信的數值計算方法；三，編制相應的符號和數值計算自動推理軟體，並以此獲得若干重要非線性系統、包括離散系統和超可積系統的Lax對、一般對稱群和有意義的各種類型的精確解和數值解；四，對所得精確解和數值解進行套用研究，通過數值模擬與動力學分析，解釋非線性系統所對應的物理現象與預測一些新的物理。從理論、算法和物理套用上對以上問題進行深入研究，為實際問題的解決提供新的原理和工具，為數學機械化在非線性領域、特別是在凝聚態物理與非線性光學等領域的套用打開新的突破口。

結題摘要

該項目主要就非線性科學中非線性系統的拉克斯對、對稱性、精確解、數值解及其相關問題展開研究。基於可積系統理論，提出了構造半離散系統一種性質很好的拉克斯對---遞歸運算元和無窮多守恆律的方法，並獲得了一些半離散系統的遞歸運算元和無窮多守恆律，並對前幾個守恆律進行了數值驗證；給出了兩個超對稱方程的遞歸運算元。基於符號計算，提出了求解非線性系統精確解的一些直接方法和子方程展開法，並利用這些方法研究了若干玻色-愛因斯坦凝聚、非線性光學等熱門領域出現的重要非線性系統的精確解，通過理論和動力學分析，解釋了方程所對應的物理。基於孤子理論和李群理論，獲得了一些重要非線性系統的經典李對稱、有限對稱變換群、相似變換及相應的精確解，並討論這些解在實際物理中的套用。利用不變流形方法，對Ito方程進行了高精度數值研究。這些結果一方面對求解非線性系統的遞歸運算元、精確解、數值解和研究系統的對稱性提供了一些新的思想和方法，促進了偏微分方程、數學物理和計算機代數等相關學科的交叉和發展；另一方面對玻色-愛因斯坦凝聚中物質波孤子的管理以及非線性光學中光孤子的實驗開闢了新的方法和途徑。總之，在本項目研究期限內完成了項目的預定目標，共發表論文21篇論文，其中17篇被SCI收錄，4篇被EI收錄，成果達到了國際水平。