《微分Galois理論與非線性系統的複雜性》是依託吉林大學，由史少雲擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：微分Galois理論與非線性系統的複雜性
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：史少雲
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
十九世紀80年代末，Picard和Vessiot將代數方程的Galois理論推廣到齊次線性微分方程，建立了微分Galois理論。上世紀90年代，Morales-Ruiz和Ramis等人利用微分Galois理論研究解析Hamiltonian系統的可積性，建立了所謂的Morales-Ramis理論，並取得了一系列重要結果。如何利用微分Galois理論研究非Hamiltonian系統的可積性，建立類似的Morales-Ramis理論自然成為人們關心的重要問題。本項目中，我們將利用微分Galois理論研究非線性系統的可積性與不可積性，嘗試建立一般非線性系統的類似的Morales-Ramis可積性理論，並探討系統的不可積性與混沌等複雜行為和系統的可積性與Painlevé 性質之間的關係，給出Hénon-Heiles系統、Yang-Mills系統及Euler-Poisson問題可積或不可積的判別準則。
結題摘要
十九世紀80年代末，Picard和Vessiot將代數方程的Galois理論推廣到齊次線性微分方程，建立了微分Galois理論。上世紀90年代，Morales-Ruiz和Ramis等人利用微分Galois理論研究解析Hamiltonian系統的可積性，建立了Morales-Ramis理論，並取得了一系列重要結果。如何利用微分Galois理論研究非Hamiltonian系統的可積性，建立類似的Morales-Ramis理論自然成為人們關心的重要問題。本項目主要研究微分方程的可積性與微分Galois理論及相關問題，得到主要結果有：1. 結合Lie代數理論，建立了一般非線性常微分方程的Galois理論；2. 證明了Painlevé IV方程在某些情形是( Liouville意義下)不可積的；證明了弱Painlevé性質等價於系統的某種可積性；給出了Hénon-Heiles系統和廣義Yang-Mills哈密頓系統的完整可積性分類。結果1利用群的可解性研究非線性常微分方程的可積性，得到與關於代數方程的經典Galois理論類似的結論；結果2表明具有Painlevé性質的方程不一定可積，揭示了系統的可積性和弱Painlevé性質之間的深刻聯繫。
