《關於可積幾何曲線流的研究》是依託寧波大學，由吳志偉擔任負責人的國家自然科學基金資助青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：關於可積幾何曲線流的研究
- 依託單位：寧波大學
- 項目負責人：吳志偉
- 項目類別：青年科學基金項目
項目簡介,結題摘要,
項目簡介
本項目的主要研究對象是齊性空間上的可積曲線流。對於幾何空間中的曲線，其不變數依賴於空間中的群作用。我們將從這一角度出發，通過考慮幾類空間（如仿射空間）上的群作用，研究在這些群作用下曲線的幾何性質。通過建立KdV型和mKdV方程與Kac-Moody 代數之間的對應，我們將建立一個系統的框架研究這類方程與幾何曲線流的對應。這是本項目的一個重點和難點，從微分幾何與代數分解的角度來研究可積方程是本項目的主要創新之處。我們將給出KdV型和mKdV方程的曲線流解釋。通過Bäcklund變換，我們將給出曲線流的顯示解，進而研究不同類型的不變數下曲線的幾何性質。Hamiltonian 公示化也是本項目的一個重點，我們將構造曲線流的雙Hamiltonian結構，討論守恆率的幾何意義。本項目的研究將有助於更深刻系統的理解可積系統的幾何背景，同時為可積方程以及不同空間中的曲線分類問題提供新的思路。
結題摘要
本項目主要研究Kac-Moody代數對應的幾何曲線流。我們建立了一個框架系統地構造可積曲線流。從群作用與活動標架出發，我們研究曲線的幾何不變數。通過對子流形切空間的刻畫，我們構造曲線流。曲線流的解滿足Kac-Moody代數對應的KdV型方程。在這一框架的基礎上，我們主要研究了n維仿射空間上的中心仿射曲線流，其幾何不變數（中心仿射曲率）是Gelfand-Dickey序列中的方程的解。在此基礎上，我們求解了中心仿射曲線流的兩類柯西問題（具有速降曲率的初值以及周期曲率的初值）。通過構造Gelfand-Dickey序列的Backlund變換，我們給出了n維空間中的中心仿射曲線流的Backlund變化，以及交換公式，從而構造出無窮多族的顯式解。在這一工作中，我們給出了中心仿射曲線流的雙哈密頓結構以及守恆律。本項目還研究通過Lie代數分解的方法，構造可積系統的非局域約化。希望能夠建立這一類系統的幾何對應，為今後的幾何問題的研究提供幫助。具體的說，系統地構造了導數薛丁格型的方程族，以及PT對稱的薛丁格型和導數薛丁格型的方程族。這一系列的研究將幫助我們更深入地了解微分幾何與可積系統之間的聯繫，通過可積系統的理論研究曲線或者曲面問題，為幾何對象的研究提供新的思路。
