《多維相容系統的反散射理論》是依託上海大學，由張大軍擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：多維相容系統的反散射理論
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張大軍
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
我們所言的離散可積系統特指時間、空間均為離散的可積差分方程。近年來離散可積系統取得重要進展，並推動了離散複分析、離散幾何、特殊函式等核心數學的發展，成為目前研究差分方程一般理論最有希望的途徑。多維相容性是一類特殊離散系統所具有的性質，它在離散方程本身、Lax對、B?cklund變換三者之間建立起樸素的聯繫。本項目以多維相容系統的反散射變換理論為主要和重點內容，探討正散射問題的數學嚴密性及反散射變換步驟。同時研究該類系統的多步Darboux變換、Cauchy矩陣方法等更多途徑，發展離散可積系統的精確求解方法。另外還將關注多維相容系統的構造以及多維相容性在可積性研究中發揮的作用。本項目不僅是對目前並不豐富的離散可積系統的求解途徑及理論的發展，更重要的在於反散射變換的理論意義與影響，將對進一步認識離散可積系統，發展離散可積系統相關理論具有重要意義。
結題摘要
離散可積系統特指時間、空間均為離散的可積差分方程。近年來離散可積系統取得重要進展，並推動了離散複分析、離散幾何、特殊函式等核心數學的發展。多維相容性作為一種對離散可積新的理解，為離散可積系統的研究提供了研究手段。 本項目以多維相容系統的反散射變換理論、Darboux變換、Cauchy矩陣方法、離散的可積特徵等為重點研究內容，發展了離散可積系統的精確求解方法，探討了多維相容性在可積性研究中的作用。具體研究成果包括：(1) 系統研究了非自治多維相容系統的反散射變換，建立了基本理論框架。(2) 系統建立了一類離散可積系統的多步Darboux變換，獲得了Casorati行列式解。(3) 建立了代數多項式與離散色散關係的聯繫，並套用於多維相容系統的構造。(4) 實現了Cauchy矩陣方法的一般化，獲得了更加豐富的解；進一步探討了Sylvester矩陣方程與離散和連續可積系統的聯繫。(5) 給出了從Lax對出發，利用多維相容性構造無窮守恆律的方法。(6) 構造了一類具有3孤子解的離散的雙線性方程。(7) 對經典的半離散AKNS和KP方程族進行了系統研究，建立了它們的嚴格的連續極限格式。(8) 對離散可積系統有理解的構造和研究。(9) 對多維相容系統的非自治化後的解的結構的研究。這些研究使我們對離散可積系統在理論上有了更加深刻的認識。所獲成果大多具有原創性，或實現了離散可積系統理論中若干經典方法的進一步完善與發展。項目執行期間，共有5名碩士研究生、4名博士研究生畢業；共發表SCI收錄論文27篇。我們比較滿意地完成了該項目。
