《具有複雜對稱性的可積系統的精確求解》是依託復旦大學，由周子翔擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：具有複雜對稱性的可積系統的精確求解
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：周子翔
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
可積系統的精確解對於深入了解由這些非線性偏微分方程所描述的非線性現象有著重要作用。本項目研究在數學、力學和物理中出現的具有複雜對稱性的可積系統的精確求解方法，特別是Darboux變換方法和非線性約束方法。主要內容為: 研究保持所有對稱性的Darboux變換的一般構造方法及用Darboux變換求相應的幾何、物理問題如與各種無限維Lie代數相關的2維Toda方程等的精確解，並研究解的幾何與物理特性; 研究保持所有對稱性的非線性約束的一般構造方法，包括研究如何系統構造保持所有對稱性的有限維Lax運算元以及r矩陣等,特別是在系統具有內在辛結構且有複雜對稱性的情形給出這些問題的統一結論，並套用到具體問題中去; 研究在系統具有複雜對稱性時不同求解方法的內在聯繫。通過本項目的研究，希望對這些具有複雜對稱性的可積系統的精確求解方法有深入、系統的認識。
結題摘要
主要研究結果如下：（1）對於具有內在辛對稱和若干個循環對稱的Lax對的n階AKNS系統(含有大量重要的方程，包括二維C_n^{(1)} Toda方程)，通過給出一個統一的有限維Lax矩陣，得到一個自然的有限維Hamilton系統，進而構造r矩陣並證明了此Hamilton系統的完全可積性。本項工作的難點在於要求所得的有限維Lax矩陣同所有對稱均相容,從而導致r矩陣較複雜，進而引起統一的Hamilton函式的構造及守恆積分獨立性的證明的複雜性。 （2）對於同時具有實對稱性、循環對稱性和酉對稱性的Lax對構造了保持所有對稱性的Darboux變換，並由此得到所有七個無限系列的二維橢圓仿射Toda方程的Darboux變換及解的具體表達式。除最簡單的A_n^{(1)} 代數外, 其餘六類代數： A_{2n}^{(2)}, A_{2n-1}^{(2)}, B_n^{(1)}, C_n^{(1)}, D_n^{(1)}, D_{n+1}^{(2)} 所相應的二維橢圓Toda方程均同時具有上述對稱性。本項工作的難點在於Darboux變換要保持所有的對稱性，所以最低階Darboux變換的階數也非常高，需要用一系列技巧以得到解的簡潔顯式表達式。所得的方法也適用於其它同時具有上述對稱性的可積系統的求解。 （3）給出了一個統一的方法以確定一個非線性偏微分方程是否能通過對數變換轉換為KdV型雙線性方程，並且給出具體的轉換方法。整個變換依賴於若干個參數，每個參數均可從原非線性偏微分方程以簡便的方式顯式算出，並且這些算法完全可用人工、不需要任何試探、也不需要藉助於計算機來實現。 （4）對於2+1維AdS時空中描述Yang-Mills-Higgs場的Bogomolny方程，通過對其Lax對作約束，建立了它同Ward方程和非線性sigma模型的聯繫。同時，構造了約束後的系統的Darboux變換。 （5）對一些有物理背景的具體方程構造了Darboux變換。在國外SCI期刊發表論文3篇，國內SCI期刊發表1篇，論文集發表1篇。另外, 翻譯了Rogers和Schief教授關於可積系統的專著一冊，由科學出版社出版。
