非線性系統的精確解與複雜邊條件下的高精度解

《非線性系統的精確解與複雜邊條件下的高精度解》是依託華東師範大學，由李玉奇擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非線性系統的精確解與複雜邊條件下的高精度解
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李玉奇
• 依託單位：華東師範大學

項目摘要

本項目研究非線性系統，包括連續可積系統、(半)離散可積系統、近可積系統以及一些特殊重要的無耗散系統的精確求解和高精度數值求解。(半)離散可積方程是當前數學物理研究的熱點問題，連續可積系統和無耗散系統在數學物理中有根本的重要性，而近可積系統具有廣泛的實際套用。對以上問題的研究存在重大幫助的是滿足一些苛刻要求的極高精度的數值解，但是用現成的數值方法得到的解很難達到要求。本項目將A、 通過研究可積系統的不變子流形結構，發展用不變子流形求精確解的方法，得到可積系統新的成系列的精確解，研究孤子解和代數幾何解之外的物理；B、根據系統的不變子流形結構，給出新的計算方法，能在複雜邊界條件下，對可積或者近可積系統求得令人滿意的數值解，為可積系統在複雜邊界下的求解理論提供啟示,對若干特殊重要非線性系統求出高精度的可信的數值解，促進對其中物理的認識和理解。

結題摘要

對非線性系統的研究是人類認識世界的重要一環。其中的可積系統是一類存在豐富解析結構的重要系統，利用其解析性質可以對系統做深入的探討，即便這樣，可積系統中仍然存在很多需要先做數值計算才能理清思路的問題。 而不可積系統沒有特別的解析結構，需要針對性的利用這些系統一些不易覺察的解析結構。 本項目主要研究了5個方面的內容。1. 通過不變子流形，包括不變數和不變式來構造偏微分方程的群不變解的最佳化系統;2. 通過研究量子多體諧振勢系統、量子少體系統揭示量子體系中的可積結構以及環境擾動等物理;3. 可積方程的雙哈密頓結構及其離散，從而實現數值計算的研究; 4. 漸近周期邊界的一類特殊問題包括非局域對稱、孤子和橢圓波相互作用解的研究;5. 一些黎曼-希爾伯特問題的高精度數值算法。 項目取得的比較重要的結果有4方面。1，對於一般方程（不限於可積方程）的群對稱解分類問題我們有重要突破，解決了以往需要依靠經驗對解的性質歸類的問題，對一維和高維最佳化問題都實現了算法化；2， 通過對量子多體諧振勢系統、量子少體系統等特殊系統的研究，理解了量子系統中的部分可積結構。3， 用運算元離散的方法，我們對可積系統構造了適合數值計算的可積離散格式 。4, 初步建立了非局域對稱局域化的方法，以KdV方程為例指出其達布變換可以通過求點對稱的群不變解得到,以Bogoyavlenskii KdV方程為例構造了孤子-橢圓波相互作用解。 本項目計畫完成10篇SCI論文，到目前為止實際完成16篇SCI學術論文（全部基金標註）， 發表在國內外重要的學術刊物上，包括2篇J. Chem. Phys., 2篇J. Math. Phys., 1篇Appl. Math. Lett.,1篇Physica A。 其中2016年發表在Appl. Math. Lett.上的這篇文章在2017年被評為高被引文章。