《非線性可積系統的精確解及解的動力學性質分析》是依託浙江師範大學，由張翼擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性可積系統的精確解及解的動力學性質分析
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張翼
- 依託單位：浙江師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非線性孤子方程的精確解及其動力學性質是數學物理中一個重要的研究問題.本項目基於Hirota雙線性方法、B?cklund變換和Darboux變換方法尋求可積系統的多種精確解，研究孤子系統精確解的代數性質和幾何結構，如Wronskian、Casorati、Pfaffian、Fredholm 行列式形式解的表示，致力於構建解的統一表示理論；建立一般的雙線性方程理論；探索雙線性方程、Bell多項式及線性疊加原理的數學內蘊關係。藉助動力系統方法揭示精確解及動力學性質.
結題摘要
孤子方程的可積性和動力學性質是非線性科學中一個十分重要的研究領域。 孤子方程的精確求解不僅具有數學意義而且還有物理實際意義。本項目基於Hirota雙線性方法並結合其他方法，研究了孤子系統精確解的代數性質和幾何結構，如Wronskian、Casorati、Pfaffian、Fredholm 行列式形式解的表示，致力於構建解的統一表示理論；求解了諸多非線性可積方程的精確解其中孤子解、有理解、Positon、Negaton以及lump、rogue wave解等在內的一系列精確解，從而說明了非線性發展方程解的豐富性和多樣性。基於Hirota雙線性方法，提出了正定二次函式方法構造lump 解，通過符號計算，研究了包括KP方程、BKP方程、2+1維Ito方程、4+1維Fokas方程的lump 解以及碰撞解。推廣Hirota雙線性方法，建立了一般的Hirota雙線性方程理論。具體地推廣了Hirota雙線性導數定義，並以此推得了類KdV、 類KP、類Boussinesq方程的有理解和類(2+1)-維 KdV方程的Bäcklund變換； 探索了Hirota雙線性方程與線性疊加原理的數學內蘊關係。藉助動力系統理論和方法討論了非線性發展方程多種精確解及其相應的動力學行為；考慮了孤子方程的可積耦合問題，為構造新的可積系統提供了新的思路和途徑。研究了幾個可積系統的可積耦合、雙可積耦合和雙Hamiltonian結構問題；討論了孤子方程族的代數幾何解的Riemann theta函式表示問題。利用孤子方程族的Lax矩陣的線性組合，引入特徵方程的三角曲線，討論了亞純函式的一般性質，具體地分析了3*3矩陣譜問題的代數幾何解的構造。特別考慮了so(3,R)型李代數可積系統的套用問題。
