《離散孤立子的動力學性質和穩定性研究》是依託上海對外經貿大學，由周統擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：離散孤立子的動力學性質和穩定性研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：周統
- 依託單位：上海對外經貿大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究若干離散(包括半離散和全離散) 可積系統的精確解，離散可積系統可積性和精確解的連續極限，離散孤立子的相互作用以及一個半離散可積哈密頓系統的離散孤立子的漸近穩定性。具體包括以下幾個方面的內容：（1）研究有重要物理背景的半離散Boussinesq方程的精確解以及解的行列式表示；（2）研究半離燥愉散Boussinesq方程的可積性，構造其Darboux 變換並求出精確解，建立半離散可積方程的可積性（包括Lax對，Darboux變換，無窮守恆律，Hamiltonian結構和精確解等）與相應的連續方程的可積性之間的聯繫；（3）研究可積全離散系統和一個不可積半離散系統（例如不可積離散非線性Schrodinger方程）的離散孤子解的相互作用，給出嚴格的理論分析，揭示離散孤立子不同於連續孤立子的新淋霸遙特徵。（4）通過將可積的Volterra系統的哈密頓形式的線性化，在附加正交條件下研究其初值問題解的漸近分解性質。
結題摘要
孤立子與可積系統理論是非線性科學中的重要研究內容，在流體力學、電漿物理、非線性光學、光纖通訊等物理領域中都有著重要的套用。人們還發現很多非線性系統有著豐富的可積性質，例如它是一對線性譜問題的相容性條件，具有無窮守恆律、哈密爾頓結構和無窮多對稱設愉檔，具有多種形式的精確解等；同時，人們提出了很多有效的研究方法（包括逆散射方法，Darboux變換方法，雙線性方法，非線性化方法，超對稱方法等）來研究非線性可積系統的問題。最近幾年，離散可積系統和非局域可積系統稱為非線性科學研究的熱點之一。本項目的主要研究內容是關於連續型和離散型可積系統的精確求解和動力學性質，非局域等譜和非等譜系統的可積性及精確求解問題，以及可積動力系統精確解的漸近穩定性問題。我們通過對一個全離散KdV型方程的精確解的研究，詳甩洪擔喇細研究了這一方程的多種結構的精確解，發現離散的孤立波解有著更加豐富的動力學性質，例如1-孤立波解具有某種意義下的周期性，2-孤立波解具有波幅與速度正相關的特徵，這些新現象在連續可積系統中沒有出現過，對全離散可積系統特別是解的動力學性質的研究增添了新的有意義的內容。對於一個四分量的向量形式的非線性薛丁格系統，我們給出了線性譜問題和烏槳凳相應的N次達布變換，藉助達布變換得到了這一向量形式的非線性系統的若干具有不同特徵的精確解，包遷肯擔括亮孤子解，暗孤子解和混合孤子解，取得了一些有意義的研究成果。我們對於非局域的可積系統潤重鴉想也做了相關的研究工作。對一個非局域矩陣型的非線性薛丁格方程，我們給出了線性譜問題和相應的達布矩陣，並給出了一系列的新的矩陣形式精確解，包括周期解，暗-亮孤子混合解，呼吸子解和有理解。此外我們還研究了一個非局域非等譜的可積系統，給出了它的Lax對，達布矩陣和位勢之間的變換關係，並求出了精確解，同時我們還研究了這一系統的無窮守恆律和對稱。這些研究結果為我們更清晰地理解非局域可積等譜和非等譜系統的性質和套用提供了有意義的幫助。
