《非線性系統可積性的若干機械化算法及套用研究》是依託上海大學，由徐桂瓊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性系統可積性的若干機械化算法及套用研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：徐桂瓊
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
將數學機械化的原理和思想引入到非線性系統可積性和精確解研究中，與孤子理論中的Painlevé分析法和Hirota方法結合起來，建立和發展可積性判定、可積性質推導及精確求解的若干機械化算法。以符號計算為工具，編制可積性與精確求解的自動推導軟體包。本項目的研究成果將拓寬數學機械化在微分領域的套用範圍，為相關學科的研究提供實用方便的研究工具。研究內容包括：（1）發展非等譜發展方程Painlevé檢驗的構造性算法，並推廣到非線性差分-微分方程。（2）建立雙線性形式和雙線性B?cklund變換、Lax對和守恆律的自動推導算法。（3）研究連續系統和離散系統的擬周期解、ripplon解、dromion解等的機械化算法。（4）基於Maple編制軟體包，實現非等譜發展方程和差分-微分方程Painlevé可積檢驗、可積性質推導和精確求解等功能。
結題摘要
本課題將數學機械化的原理和思想引入到非線性系統可積性和精確解研究中，與孤子理論中的Painlevé分析法和Hirota 方法、Bell多項式方法、分離變數法和基方程展開法結合起來，建立和發展可積性判定、可積性質推導及精確求解的若干機械化算法，獲得了一些新的結果。本項目的研究成果將拓寬數學機械化在微分領域的套用範圍，為相關學科的研究提供實用方便的研究工具。研究內容包括：（1）提出並發展了廣義非線性演化方程Painlevé可積歸類的構造性算法，並將其推廣到非等譜情形，研究了具有重要套用背景的廣義破碎孤子方程、廣義五階KdV方程、廣義七階KdV方程，獲得了若干新的可積模型；（2）對Painlevé可積的模型，充分利用截斷展開法與Hirota雙線性方法、Bell多項式和Nucci擬勢方法相結合，探討求得雙線性形式、Bäcklund變換、Lax對和無窮守恆律的若干構造性算法。利用這些算法，對我們獲得的新可積模型進行研究，得到了一系列新的可積特性；（3）發展Hirota雙線性方法，構造非線性波方程的多孤子解、N波解、雙周期解以及周期孤立波解等；（4）發展和提出了直接分離變數法，研究了（2+1）維mKdV方程、（3+1）維BKP方程、（3+1）破碎孤子方程等高維非線性方程，得到了其豐富的局域激發模式；（5）改進了基方程展開法，研究了具有強非線性項的幾個非線性演化方程的精確解。
