具有奇特性質非線性波的數學理論研究

《具有奇特性質非線性波的數學理論研究》是依託中國科學院大學，由趙俊霄擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：具有奇特性質非線性波的數學理論研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：趙俊霄
• 依託單位：中國科學院大學

項目摘要

關於具有奇特性質非線性波的研究，一直是數學物理、流體力學等領域的重要研究內容。我們將套用可積系統理論重點研究怪波、共振波和周期波。希望通過具體問題的研究，探索發展非線性波解的孤立子數學理論。我們將套用可積系統理論研究特殊孤立子非線性作用時的極大振幅，探索怪波與孤立波之間的關係，以及其它支持怪波的非線性模型，研究玻色-愛因斯坦凝聚試驗中的怪波問題。目前，可積系統孤立子τ-函式一般由行列式或pfaff式表示，相對於行列式而言，pfaff式更具一般性。我們將研究具有pfaff式解可積系統的線孤立子解及其非線性作用，重點研究共振作用和網狀結構。關於非線性發展方程的周期波解，Hirota猜想具有N-孤立子解的孤子方程也有N-周期波解。由於目前很難直接證明這一猜想，我們將套用可積數值算法，設計3-周期波解的數值解法，檢驗Hirota的猜想，探索證明該猜想的方法。

結題摘要

我們主要圍繞離散可積系統、玻色-愛因斯坦凝聚體系統（Bose–Einstein condensates）和一些重要數學物理方程的精確解等問題展開研究工作。取得的主要成果有以下幾點 1）關於離散KP方程族及其約化系統。得到離散KP方程族系統的m-約化方法。該方法在Miwa變換下恰為Hirota給出的連續KP方程族的m-約化方法。套用我們給出的關於離散KP方程族的m-約化方法，可以有效的得到新的離散方程，同時還有助於研究方程精確解的代數結構。 2）關於玻色-愛因斯坦凝聚體系統。分別研究了具有周期勢的自旋為1的玻色-愛因斯坦凝聚體系統、拋物勢作用下具有空間局域非線性的二維原子-分子玻色-愛因斯坦凝聚系統和時空調製非線性的具有兩體和三體相互作用的一維玻色-愛因斯坦凝聚系統。通過研究這些系統的精確解及其穩定性分析，得到具有物理意義的成果。這些研究結果為認識新的物質態，發現原子-分子玻色-愛因斯坦凝聚系統新的量子現象提供了實驗方案和技術手段，對物理學、信息科學的基礎研究有重要的科學意義，也對許多高科技領域如晶片技術、精密測量、原子鐘、量子計算、納米技術等都有很好的套用前景。 3）關於一些重要數學物理方程精確解的研究。分別研究了廣義Hirota方程，廣義混合非線性薛丁格方程和耦合非線性薛丁格方程組的精確怪波解及其他有理形式的解。分別分析了多怪波解和呼吸子解的動力學性質，發現了新奇的非線性奇異波現象。 通過研究這些解的調製不穩定性質，探索怪波的產生機理。 此外還研究了廣義Hirota-Satsuma型耦合KdV方程、帶特殊形式首迫項KdV方程、非等譜廣義Sawada–Kotera方程等一些重要數學物理方程相關的可積性質和精確解。