《非線性離散可積方程與離散Painlevé方程族的連續極限理論》是依託上海對外經貿大學，由趙海瓊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非線性離散可積方程與離散Painlevé方程族的連續極限理論
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：趙海瓊
- 依託單位：上海對外經貿大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究非線性離散可積方程和離散Painlevé方程族的連續極限理論。主要內容包括利用Darboux變換構造離散組合可積方程的各種精確解，並建立這些解與對應連續系統解的一一對應關係。研究與高階譜問題相聯繫的離散可積方程(離散Sawada-Kotera方程，離散 Boussinesq 方程, 離散Kaup-Kupershmidt方程，離散多分量Schr?dinger 系統)的Lax對，無窮守恆率，哈密爾頓結構，對稱，Darboux-B?cklund變換及精確解的連續極限理論。通過構造非均勻譜Volterra方程族，非均勻譜離散mKdV方程族，非均勻譜離散Boussinesq 方程族的連續極限理論，建立離散Painlevé (I, II, III)方程族與Painlevé (I, II, III)方程族之間的一一對應關係，進一步研究離散Painlevé方程及其族的各種性質的連續極限理論。
結題摘要
非線性可積偏微分方程的離散化是非線性動力系統領域的一個前沿問題。基於離散可積模型在數值模擬和離散物理系統中的廣泛套用，人們希望所構造出的離散方程儘可能多的保持各種可積性質。本項目研究的是在此基礎上的深化問題：如何建立離散可積系統精確解及可積性質與相對應連續模型之間的一一對應關係？我們主要利用離散可積系統的連續極限理論，即在一個統一的極限框架下，嚴格證明由離散可積模型的精確解和各種性質確實能夠一一對應於連續相對應的結果。在本項目的研究中，我們提出一系列新的空間離散可積模型，例如：多分量局部耦合非線性薛丁格系統，Hirota方程，Burgers和Sharma-Tasso-Olver組合方程，Kundu-Echkaus 方程。進一步成功構造這些離散方程的Lax對，無窮多個守恆率，Darboux變換等可積性質。最後引入Darboux 變換的連續極限理論並藉助於Lax對的連續極限理論實現了各種精確解之間的一一對應關係；通過線性組合技巧建立無窮多個守恆率的連續極限理論。
