擬行列式在一類廣義非交換可積系統中的套用

《擬行列式在一類廣義非交換可積系統中的套用》是依託首都師範大學，由李春霞擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：擬行列式在一類廣義非交換可積系統中的套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李春霞
• 依託單位：首都師範大學

項目摘要

近年來，孤子理論和可積系統到非交換時空的延伸得到很多人的研究。非交換的一種自然解釋是相空間的量子化致使通常的乘法為Moyal積取代。此外還有矩陣和四元數所引起的非交換性質。超對稱方程由於費米量和玻色量的存在也可看作一類特殊的非交換可積系統。本項目所研究的非交換可積系統不考慮引起非交換的原因，只是形式地假設因變數AB≠BA，研究結果具有很強的普適性，適用於以上幾種情形。擬行列式是針對除環上的矩陣定義的，它在非交換代數中的地位與行列式在交換代數中的地位同等重要。擬行列式在非交換可積系統、非交換對稱函式、量子代數和Yangian等多個領域中都有重要套用，在一定程度上是非交換可積系統中'τ'函式的首選表示。本項目擬在已有工作基礎上，利用Darboux變換等工具研究非交換可積系統與超對稱方程的構造與擬行列式解，推廣Sato理論到非交換情形，探索非交換可積系統的'τ'函式是否有擬Schur函式表示。

結題摘要

近年來，孤子理論和可積系統到非交換時空的推廣得到很多人的研究，關於經典可積系統相應的非交換系統的可積性質有著極大的研究興趣。這不僅因為在非交換規範場論中，非交換孤子在某些情形下正是低維D膜本身；也因為對非交換可積系統的孤子解的分析在N=2弦理論中有重要套用。引起非交換的原因有很多，最常見的是矩陣、四元數乘積和相空間量子化導致的Moyal乘積都是非交換的。我們所研究的非交換可積系統不考慮引起非交換的原因，只形式地假設因變數乘積不可交換，研究結果具有很強的普適性，適用於以上幾種情形。擬行列式作為非交換代數中的主要組織工具，在非交換可積系統、非交換對稱函式、量子代數和Yangian等多個領域都有重要套用。越來越多的研究結果表明，擬行列式在表示非交換可積系統以及超對稱方程的解等方面具有不可替代的優勢。孤子理論中的兩個核心問題是尋找新的可積系統和判定方程的可積性質。本項目的主要研究內容包括利用達布變換研究非交換可積系統與超對稱方程的構造與擬行列式解，推廣經典可積系統理論中的Sato理論到非交換情形，探索非交換可積系統與擬Schur函式的聯繫。 項目組成員在非交換可積系統的構造與擬行列式解方面取得了重要進展。首先研究了一個非交換q形變的2維Toda晶格方程，利用達布變換得到其擬行列式解。其次利用達布變換研究了非交換帶源KP方程族和非交換連續和離散的三維三波的擬行列式解以及精確解。項目組還在一些著名的可積系統的關係、矩陣積分解、譜問題、帶源方程和約化等方面取得了重要進展。項目組成員建立了非線性全離散KP方程及其連續極限與雙線性全離散KP方程及其連續極限之間完整清晰的關係圖；把隨機矩陣理論中的矩陣積分引入到全離散KP方程族及其耦合系統，得到其矩陣積分解；系統地闡述了孤子方程的行列式解和Pfaffian解，推廣了經典的Kaup-Newell方程族和AKNS方程族等，利用達布變換研究了廣義自對偶Yang-Mills方程和推廣的C型KP方程族的孤子解等；研究了孤子理論中最基礎也是最重要的離散KP方程族和離散BKP方程族的約化等。項目組關於非交換可積系統的研究結果不僅推廣了擬行列式在非交換可積系統中的套用，也彰顯了擬行列式在表示非交換可積系統和超對稱方程的解方面的優勢。項目組關於經典可積系統方面的研究結果從理論上豐富和完善了孤子理論，也加深了對其的理解。