《可積系統的代數與幾何結構》是依託鄭州大學，由耿獻國擔任項目負責人的重點項目。
基本介紹
- 中文名：可積系統的代數與幾何結構
- 項目類別：重點項目
- 項目負責人：耿獻國
- 依託單位：鄭州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
研究與3×3矩陣譜問題相聯繫的Lax矩陣特徵多項式產生的非超橢圓曲線及緊化給出的三葉Riemann面，引入BA函式和帶有因子數據的代數函式並探討它們的性質。建立Abel坐標與連續型和離散型孤子方程族解在原坐標下的關係，導出與3×3矩陣譜問題相聯繫的連續型和離散型孤子方程族的代數幾何解。藉助Hankel行列式和Pfaffian技巧研究離散系統的可積性質和代數結構。利用designants技巧和Clifford代數為工具推導新的非交換外推算法，並研究這些算法的奇性規則和cross-rules。用擬行列式技巧尋找對應非交換可積系統的孤子解。構造有限域上新的可積系統並研究它們的代數和幾何性質。構造新超可積和超對稱系統及其對稱、Hamiltonian結構和守恆律，系統地發展構造新超可積方程的方法。構造超對稱可積系統的反向變換並研究它們的套用。發展有效方法構造超對稱可積系統的顯式解.
結題摘要
本項目的主要目標是研究可積系統的代數與幾何結構。我們研究了與3×3矩陣譜問題相聯繫的Lax矩陣特徵多項式產生的三角曲線及緊化給出的三葉Riemann面，引入Baker-Akhiezer函式和帶有因子數據的代數函式並探討它們的性質。建立Abel坐標與連續型和離散型孤子方程族解在原坐標下的關係，導出了一批與3×3矩陣譜問題相聯繫的連續型和離散型孤子方程族的代數幾何解。將非線性最速下降法擴展到研究與3×3矩陣譜問題聯繫的可積非線性偏微分方程Cauchy問題，獲得了耦合非線性Schrödinger方程和Sasa-Satsuma方程Cauchy問題解的長時間漸近行為。我們給出一個非等譜Camassa–Holm（CH）方程以及多尖孤子解相關的動力系統並基於經典行列式方法求得顯式多尖孤子解。我們提出部分斜對稱正交多項式的概念，並討論了具有各種特殊斜對稱核和權函式的部分斜對稱正交多項式。通過考慮權函式適當變形，導出了九種不同維數的可積晶格及其τ函式。首次給出可積系統理論和廣義逆Padé近似之間的聯繫。首次套用Pfaffian方法用於研究尖孤子方程並建立了Novikov尖孤子和BKP型有限Toda晶格、Degasperis-Procesi尖孤子和CKP型有限Toda晶格之間的聯繫。採用矩修正的方法，求出CH與二分兩修正CH方程的對應關係。二分兩修正CH方程的多尖孤子公式可用Hankel行列式表示，得到一個廣義的非等譜二分量修正CH方程和非等譜廣義修正CH方程。引入一種新的代數工具Pfaffians來代替行列式，由此提出一種基於Pfaffians的高階廣義變換並給出一種新的可積收斂加速算法。揭示耦合mKdV方程與斜正交多項式、收斂加速算法和 Laurent性質間的關係。定義了超對稱微分多項式的符號表示，並用其實現了超對稱微分多項式的相關運算。進而給出一類超對稱發展型方程的完整可積分類。我們獲得超對稱sine-Gordon、超對稱mKdV、超對稱非線性Schrödinge方程等的Darboux和Bäcklund 變換。構造一些新超可積和超對稱系統及其對稱、Hamilton結構和守恆律，系統地發展構造新超可積方程的方法。構造超對稱可積系統的反向變換並研究它們的套用，由此發展了一個有效方法構造超對稱可積系統的顯式解.
