基本介紹
- 中文名：非線性可積系統的某些代數和幾何性質
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：張友金
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究一類具有重要的數學和物理套用的非線性可積方程簇的某些代數和幾何性質，研究這些代數和幾何性質之間的相互恥束汗斷聯繫及其在Gromov-Witten理論和量子場論等方面的套用。內容主要包括：研究與這類非線性可積方程簇相關聯的W-代數、W-約束以及Virasoro約束的某類其它推廣；推廣Kac-Wakimoto構造和Drinfeld-Sokolov構造以便建立起這類非線性可積方程簇和無窮維李代數的聯繫；研究一類對應於仿射李代數以及Frobenius流形的非線性可積方程簇的超變數拓展；研究與半單Frobenius 流形相故艱聯繫的流體力學型可積方程簇的拓撲形變的高虧格自由能的性質。
結題摘要
本項目研究了一類具有重要的數學和物理套用的非線性可積方程簇的某槓求台些代數和幾何性質，包括這些性質之間的相互聯繫及其在Gromov-Witten理論和量子場論等方面的套用，並取得了如下主要成果: 1）將雙哈密頓結構的中心不變數的概念套用到由范輝軍、Tyler Jarvis和阮勇斌所發展起來的FJRW不變數理論，建立了BCFG型仿射李代數所對應的Drinfeld-Sokolov可積方程簇與FJRW理論之間的聯繫，給出了BCFG型邊界奇點所對應的FJRW理論的正確構造並證明了相應的廣義Witten猜想。匙付槓尋2）對任意的半單Frobenius流形構造了一簇依賴於無窮多參數的具有哈密頓結構的可積槳囑禁發展方程並稱之茅蜜芝為Hodge方程簇；當Frobenius流形對應於光滑射影簇的量子上同調時,該方程簇的某一特解的tau函式的對數給出了相應的穩定映射模空間上的Gromov-Witten類、其引力派生類以及Hodge叢的示性類之間的相交數的生成函式；給出了利用零虧格Gromov-Witten不變數的生成函式來表示高虧格Hodge勢能的方法；證明了當其參數取某些特定值時，1-維Frobenius流形所對應的Hodge方程簇等價於離散KdV方程簇；構造了一簇新的可遷妹葛積系統並稱之為分數階Volterra方程簇，提出了它與一類滿足局部Calabi-Yau條件的3次Hodge積分所對應的Hodge方程簇等價的猜想。3）證明了每一個半單且平坦恰當的流體力學型雙哈密頓結構對應於某些通過Legendre變換相聯繫的Frobenius流形結構，構造了與之相聯繫的流體力學型雙哈密頓可積方程簇以及它們的tau結構，證明了這類流體力學型雙哈密頓結構的中心不變數為常值的形變所對應的雙哈密頓可積方程簇的tau結構的存在與唯一性定理。4）研究了半單流體力學型雙哈密頓結構的一類非局部推廣即半單流體力學型雙-Jacobi結構的性質，在單分量情形解決了這類雙-Jacobi結構的形變的分類問題。5）給出了拓展的BCD型仿射Weyl群軌道空間上的Frobenius流形結構的 LG superpotential。
