可積系統在數值算法中的套用

《可積系統在數值算法中的套用》是依託中國海洋大學，由孫建青擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：可積系統在數值算法中的套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：孫建青
• 依託單位：中國海洋大學

中文摘要

近年來，學者們注意到某些著名算法與可催主達積系統之間的聯繫，並且開始從可積系統出發構造新的數值算法。這類算法不僅有良好的數值效果，還具備一些特殊的代數、幾何性質，即所謂的“可積性”。這些研究不僅促進了可積系統理論的發展，還為計算數學提供了新的思路和方法，進而豐富了可積系統的套用。本項目將基於可積系統，探討如何利用系統自身的可積性去構造高效穩定的數值算法。一方面，利永茅民用 Hirota 雙阿抹巴虹線性方法和可積離散化技巧研究非等譜的Toda方程，從它的全離散形式出發構造對對數收斂序列有效的收斂加速算法，並探討非等譜 Toda方程在組合數學中的套用。另一方面研究一些可積的非線性波動方程的多周期波解，充分利用這些方程自身的可積性質設計出有效的數值求解方法。此外，據我們所知目前從可積系統出發構造的收斂加速算法都只適用於數量序列，本項目我們將嘗試利用多變數的耦合可積系統設計針對向量序列的收斂加速算法。

結題摘要

本項目主要探討如何利用可積系統自身的可積性設計高效穩定的數值算法，圍繞三個方面展開研究。罪說戰一，孤子方程N-周期波的數值求解方面：在Nakamura教授提出的直接方法的基礎上，我們給出了一種針對KdV型方程三周期波的數值求解算法，並從數值上驗證了KdV型方程三周期波解的存在性。二，收斂加速算法的設計方面：基於經典的收斂加速算法epsilon-算法和rho-算法，我們構造了一個新的收斂寒糊乎恥加速算法，並進行了收斂穩定性分析及數值試驗。理論分析和數值結果表明新算法對線性收斂序列和對數收斂序列都是有效的。三，孤子方程的可積離散化及數值套用方面：我們給出了mKdV方程的可祝祖積半離散化，然後將時間方向的可積離散與空間方向的擬譜法離散結合在一起，成功構造出一種快速有效求解mKdV方程的數值格晚煮拜式。我們的研究豐富了可積系統在數值算法中的套用，進一步促進了數值算法與可積系統的交叉研究。