《可積系統的分類及相關問題》是依託清華大學，由張友金擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：可積系統的分類及相關問題
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：張友金
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
可積系統的分類問題是非線性可積系統理論中一個重要的研究課題，這一方面的結果不僅有助於人們了解相關的非線性偏微分方程可積性的本質，而且對可積系統在數學物理不同研究領域中的套用具有重要意義。本項目將發展由B.Dubrovin和申請者提出的關於雙哈密頓可積方程簇的分類方法，研究一類具有流體力學型極限以及tau結構的雙哈密頓可積方程簇在Miura型變換下的分類及相關問題，並進一步研究雙哈密頓結構的一類非局部推廣即雙Jacobi結構的幾何刻畫，研究其在 Miura型變換和某類改變方程簇自變數的reciprocal變換下的不變數以及具有雙Jacobi結構的可積方程簇的分類；同時我們也將研究2+1維可積方程簇與由 B.Dubrovin和其合作者最近提出的無窮維 Frobenius流形這一概念之間的聯繫，發展無窮維 Frobenius流形理論並由此研究高維可積方程簇的分類問題。
結題摘要
可積系統的分類及其相關問題是非線性可積系統理論中的重要研究課題，這一方面的結果不僅有助於人們了解相關的非線性偏微分方程可積性的本質，而且對可積系統在 Gromov-Witten 理論、量子場論等數學物理不同研究領域中的套用具有重要意義。按照項目的研究計畫，我們在非線性可積方程簇的分類及相關問題的多個方面開展了深入的研究，取得了如下重要的成果和進展：（1）在關於半單流體力學型雙哈密頓結構的形變的分類問題的研究中，我們揭示了雙哈密頓上同調的某些重要性質，並且由此證明了無色散 KdV 方程簇的雙哈密頓結構的形變的存在性定理；刻畫了無色散 KdV 方程簇的一個新的具有非常值中心不變數的雙哈密頓可積形變的性質。（2）我們研究了 WDVV 方程的一類離散對稱的性質，通過相應的非線性可積方程簇之間的 reciprocal 變換給出了這類離散對稱的一個簡單刻畫。（3）在對一類與半單 Frobenius 流形相關的非線性可積方程簇的研究中，我們首次引入了虧格為 2 的 G-函式的概念，證明了這類 Frobenius 流形的虧格為 2 的自由能可以由這一函式以及某些虧格為 2 的穩定曲線的對偶圖表示，並且證明了 A 型奇點的 Frobenius 流形的虧格為 2 的 G-函式為零。（4）在關於 2+1 維可積方程簇與無窮維 Frobenius 流形關係的研究中，我們構造了一類新的無窮維 Frobenius 流形的例子，完整給出了與這類無窮維 Frobenius 流形相聯繫的流體力學型可積方程簇的構造，並且建立了它們與某類有限維 Frobenius 流形之間的關係。（5）在關於與 ADE 型奇點對應的 Frobenius 流形及其相關的非線性可積方程簇的研究中，我們證明了這類 Frobenius 流形的全虧格自由能由相應的 W-約束唯一性確定。另外，我們在對具有 tau 對稱性質的流體力學型哈密頓可積方程簇在保持其哈密頓結構和 tau 對稱條件下的可積形變的分類問題的研究，以及在關於一類具有特殊的常數中心不變數的雙哈密頓可積方程簇與量子奇點理論的關係等方面的研究中取得了重要的進展。
