可積系統、特殊函式與正交多項式相關問題研究

《可積系統、特殊函式與正交多項式相關問題研究》是依託上海交通大學，由虞國富擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：可積系統、特殊函式與正交多項式相關問題研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：虞國富
• 依託單位：上海交通大學

項目摘要

本項目的研究目標定位在對可積系統與特殊函式、正交多項式、組合數等相關問題的研究。離散可積系統是可積系統研究的熱點之一，同時,離散可積系統與其他數學分支存在緊密聯繫。我們將利用雙線性方法尋找孤子方程可積離散化的新途徑；建立離散可積系統與正交多項式之間的聯繫，以正交多項式為工具研究可積系統。Painleve方程是最基本的可積系統，關於它的理論也被稱為非線性特殊函式理論。Huen方程是具有四個奇點的Fuchsian型方程，它與Painleve方程之間存在對應。我們將從Heun方程的角度研究Painleve方程，給出Painleve方程有理解和特殊函式解的奇特性質的新解釋；可積系統與組合數學之間存在密切聯繫，可積組合學成為一個新的研究方向。我們將從可積系統的Hankel型行列式解出發尋找相關的組合數，給予可積系統內在結構的新認識，深入研究可積系統與組合數學之間的聯繫。

結題摘要

孤立子理論也被認為是特殊函式的理論，許多孤子方程存在包括Airy函式、Hermite函式等特殊函式表示的解。正交多項式滿足三項遞推公式，與離散可積系統存在緊密聯繫。該項目在可積離散化與數值模擬，正交多項式與離散可積系統、Heun方程及其相關特殊函式、離散可積系統相關的組合數學、連續可積系統的復化及其動力學性質方面取得了進展。項目按照計畫，順利執行，完成了預期的研究目標。