《測度空間上的譜和小波》是依託華中師範大學，由何興綱擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：測度空間上的譜和小波
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：何興綱
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究：（1）當測度u為具有緊支撐的機率測度時，L^2(u)中是否存在指數型正交基、黎茲基和框架及相關問題。它們是建立L^2(u)上調和與非調和傅立葉分析的前提和基礎；（2）當測度u不具有緊支撐時，增加視窗函式構成Gabor系統。研究Gabor系統何時成為L^2(u)中的正交基、黎茲基和框架及相關問題。這是小波分析中基本而困難的問題；（3）系統研究L^2(u)上的連續框架，逐步建立相關理論。將（1）和（2）結合起來研究是本項目的特色，兩種情形的共同點是測度和視窗函式的支撐為具有特殊性質的集合（如有限區間並、自相似集、齊次Moran集等）。相同困難點集中在特殊整係數多項式的零點分布和結構上。本項目組擬結合常用工具，引入簡單測度卷積列逼近方法、新的數論方法等研究前述問題。本項目的中心主題是分形幾何、小波分析、調和與非調和Fourier分析自然結合產生的問題。
結題摘要
本項目研究機率測度生成的平方可積函式空間中各種傅立葉基的存在性問題及其套用。這是測度上調和與套用調和傅立葉分析中的基本問題，也是前一面上項目研究工作的繼續。項目組主要研究具有緊支撐的分形機率測度何時成為正交譜測度、Riesz譜測度和框架譜測度（這也是小波分析中的主題），以及成為譜測度後其對應的譜結構性問題。項目組的研究是對經典分析理論的有益補充和延拓。其本身具有獨特的性質，對比經典分析我們發現了許多奇異現象。這是本項目研究的動力和興趣所在。 項目組成員及其合作者在研究分形測度成為正交譜測度的條件及方法，正交譜測度的譜結構等方面取得一系列突破性進展，提出了新思路，建立了新方法和新技巧。它們已成為研究譜測度相關問題的三種主要框架性方法之一。研究成果多數以論文形式體現，包括20篇標註有基金資助的論文，其中有Adv. Math.（3篇），J. Funct. Anal.（3篇），Trans. Amer. Math. Soc.(To appear，已上網)(1篇)，Constr. Approx.（1篇）等國際雜誌。 項目組主要成員近期的研究工作是該項目的深入，延拓和套用。譜測度問題包含了豐富的內容。主要延拓為研究分形譜測度構成空間中函式的傅立葉展式的各種收斂性問題，和動力系統、機率等相結合的問題等。
