《隨機矩陣理論中若干漸進問題的研究--複分析方法》是依託復旦大學，由張侖擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：隨機矩陣理論中若干漸進問題的研究--複分析方法
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張侖
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
隨機矩陣，即取矩陣值的隨機變數，在物理學中被廣泛用於模擬各種具有互動作用的複雜系統，並且與純數學（如數論，組合數學，表示論等）以及無線通信等多個領域有著深刻的聯繫，因而具有重要的研究意義。本項目擬綜合利用複分析和經典分析的工具，如Riemann-Hilbert方法、漸近分析方法，特殊函式(包括正交多項式)理論等來研究隨機矩陣理論中出現的一些漸進問題及其相關課題。具體內容包括在研究高維隨機矩陣乘積的奇異特徵值分布中出現的一大類多重正交多項式的漸進行為以及相關核(correlation kernel)函式在各種尺度下的局部極限；探討由某些非經典可積核函式定義的Fredholm行列式所滿足的微分方程及其漸進行為。其中對Fredholm行列式的研究，源於其表征了某些隨機矩陣模型中特徵值的間隙機率(gap probability)。
結題摘要
隨機矩陣，即取矩陣值的隨機變數，在物理學中被廣泛用於模擬各種具有互動作用的複雜系統，並且與純數學以及無線通信等多個工程領域有著深刻的聯繫，因而具有重要的研究意義。本項目綜合利用複分析和經典分析的各種工具，如Riemann-Hilbert方法、漸近分析方法、特殊函式理論等來研究隨機矩陣理論中出現的一些漸進問題及其相關課題。項目執行期間，研究工作進展順利，在包括SIAM Journal of Mathematical Analysis, Constructive Approximation, Annales de l’Institut Henri Poincaré Probabilités et Statistiques, Physica D: Nonlinear Phenomena等在內的國際權威期刊共發表(含接收)SCIE論文7篇，基本完成預定目標。所取得的重要研究成果包括：嚴格證明了Ginibre隨機矩陣乘積奇異特徵值在矩陣維數趨於無窮時依然遵循局部普適性原理。特別地，在處理該問題中所發展出的方法和觀點，對證明一大類隨機矩陣乘積中的普適性原理都具有借鑑意義。研究了一類核函式由第三類Painlevé方程及其高階層級的Riemann-Hilbert問題所表示的Fredholm行列式的漸進性態以及積分表達式。該Fredholm行列式描述了一類勢函式在零點附近具有極點奇性的酉系綜在硬邊附近的間隙機率。該項工作推廣了Tracy-Widom的經典結果。其他研究成果還包括探討了一類與乘積型隨機矩陣模型緊密相關的模型-Muttalib-Borodin系綜與可積系統之間的聯繫；證明了關於第二類Painlevé方程一類特解極點分布的一個猜想等。
