《數學分析（第三冊）典型問題與習題集》是2014年出版的圖書，作者是丁曉慶。
這套書總結了作者數十年來關於古典微積分的研究成果和教學經驗,對現階段微積分的教學內容和 體系進行了卓有成效的探索和改革.第一冊一元微積分部分,基於傳統的教學內容引申出“階估計方法”,通過簡捷途徑介紹了Euler求和公式.第二冊多元微積分部分,比較系統地研究了分析運算的換序問題,介紹了Riemann積分的控制收斂定理.第三冊是典型問題與習題集，精選了適合現階段教學要求並具有一定代表性的例題和習題.本套書可作為數學專業以及其他對數學要求較高的理工科專業的數學分析教材或參考書.
基本介紹
- 書名：數學分析(第三冊):典型問題與習題集
- 作者：丁曉慶
- ISBN：9787302364825
- 定價：42元1-1
- 出版時間：2014-6-9
- 裝幀：平裝
- 印次：1-1
前言,目錄,
前言
要學好數學分析, 做一定量的練習題是十分必要的 .
本書的習題分為三部分 . 第一部分是為配合教學工作 , 嚴格按教學進度編寫的 . 第二部分是多樣性的題目, 主要目的是補充第一部分的內容, 同時也想滿足不同層次的讀者在多個階段對學習數學分析的要求. 第三部分是套用前兩冊書中得到的換序公式和準則, 探討一些具體例子.
做練習題的目的, 一方面是為了及時熟悉剛學過的重要概念、定理的內容和定理的證明思想, 另一方面是為了對學過的理論進行鞏固和提高 . 從這個意義上說 , 練習題做得越多越好.
但事物都有兩面性 . 一個學生能支配的時間總是很有限的 , 並且在大學階段總要同時學習多門課程. 因此, 本書從實際出發 , 把第一部分題目分為兩類 : 一類是“基本題” , 這些都是“課後作業” , 學生務必“及時做 , 及時交”; 另一類是“提高題”, 在題號上方標有星號*,這些不作為課後作業 . 出於同樣的考慮 , 本書把典型例題也分為“基本題”和“提高題”(在題號上方標有星號*).
為方便學生的學習 , 同時又考慮不能過多干涉學生的自主學習和思考 , 本書對第一部分的一些有難度的題目 , 給出了答案或提示 . 為方便各類讀者 , 對第二部分的題目 , 基本都有簡要解答. 第三部分帶有探討性質, 適合於教師作為參考資料.
學完一段內容後 , 我們總要總結和概括 . 一般說來 , 學生有能力完成這項工作的一部分, 而另一部分是學生沒有能力完成的 . 出於這樣的考慮 , 本書對所有章節的內容 , 進行了總結和說明. 希望在這樣的幫助下, 便於學生儘快熟悉微積分的基本理論 , 切實把數學分析學好.
對於錯誤和不足之處，歡迎提出寶貴意見.
本書的習題分為三部分 . 第一部分是為配合教學工作 , 嚴格按教學進度編寫的 . 第二部分是多樣性的題目, 主要目的是補充第一部分的內容, 同時也想滿足不同層次的讀者在多個階段對學習數學分析的要求. 第三部分是套用前兩冊書中得到的換序公式和準則, 探討一些具體例子.
做練習題的目的, 一方面是為了及時熟悉剛學過的重要概念、定理的內容和定理的證明思想, 另一方面是為了對學過的理論進行鞏固和提高 . 從這個意義上說 , 練習題做得越多越好.
但事物都有兩面性 . 一個學生能支配的時間總是很有限的 , 並且在大學階段總要同時學習多門課程. 因此, 本書從實際出發 , 把第一部分題目分為兩類 : 一類是“基本題” , 這些都是“課後作業” , 學生務必“及時做 , 及時交”; 另一類是“提高題”, 在題號上方標有星號*,這些不作為課後作業 . 出於同樣的考慮 , 本書把典型例題也分為“基本題”和“提高題”(在題號上方標有星號*).
為方便學生的學習 , 同時又考慮不能過多干涉學生的自主學習和思考 , 本書對第一部分的一些有難度的題目 , 給出了答案或提示 . 為方便各類讀者 , 對第二部分的題目 , 基本都有簡要解答. 第三部分帶有探討性質, 適合於教師作為參考資料.
學完一段內容後 , 我們總要總結和概括 . 一般說來 , 學生有能力完成這項工作的一部分, 而另一部分是學生沒有能力完成的 . 出於這樣的考慮 , 本書對所有章節的內容 , 進行了總結和說明. 希望在這樣的幫助下, 便於學生儘快熟悉微積分的基本理論 , 切實把數學分析學好.
對於錯誤和不足之處，歡迎提出寶貴意見.
作者
2014年元月於西北工業大學
2014年元月於西北工業大學
目錄
第 1章數列極限 .1
1.1實數的性質兩個重要不等式 1
1.2數集的確界 3
1.3數列的確界 5
1.4數列的極限 7
1.5極限運算的性質收斂數列的性質 10
1.6極限的存在性實數集的完備性 11
1.7極限運算和常見初等運算的關係 12
1.8無窮小數列與無窮大數列 14
1.9數 e及其相關極限 .15
1.10數列的上下極限 16
1.11不定型極限 Stolz法則.21
第 2章函式極限 .26
2.1函式及其相關概念 26
2.2函式的昀值確界振幅28
2.3函式極限的定義 30
2.4函式的左右極限 32
2.5函式在無窮遠點的極限 32
2.6對極限定義的總結 33
2.7極限的性質收斂函式的性質 33
2.8極限的存在性 34
2.9極限運算和常見運算的關係求極限的變數替換法.37
2.10無窮小量與無窮大量 38
2.11不定型極限求極限的例子 .40
2.12函式的上下極限 41
2.13大 O 和小 o 44
第 3章函式的連續性 .46
3.1函式在一點的連續性 46
3.2函式在一點的左右連續性間斷點的分類 .47
3.3連續函式及其運算 48
3.4閉區間上連續函式的性質 49
3.5一致連續性 51
第 4章微分與導數 .55
4.1微分和導數的概念 55
4.2單側導數導函式56
4.3導數的幾何與物理意義 57
4.4求導法則 59
4.5常用導數公式 60
4.6參變數求導法絕對值求導法對數求導法.64
4.7微分學基本定理 65
4.8高階導數 67
4.9微分法則高階微分 69
4.10 L’Hospital法則70
4.11 Taylor公式.73
第 5章導數的套用 .78
5.1兩個函式的差是常數的條件 78
5.2函式的單調性 78
5.3函式的凹凸性 81
5.4函式的昀值 84
5.5函式的極值 86
5.6函式的作圖 87
第 6章原函式與不定積分 .88
6.1原函式與不定積分的概念 88
6.2積分運算的線性性質逐項積分法 88
6.3第一類換元積分法——湊微分法 89
6.4第二類換元積分法——參變數積分法 90
6.5分部積分法 92
6.6有理函式的積分 93
6.7三角函式有理式的積分 95
6.8無理函式的積分舉例 96
6.9說明和補充例子 97
第 7章定積分 .100
7.1定積分的概念微積分基本公式 100
7.2積分的性質 102
7.3函式的可積性可積函式的一些性質 103
7.4變限積分及其性質 106
7.5分部積分法換元積分法 109
7.6積分中值定理分部求和公式 112
7.7函式的特性與積分的計算 113
7.8積分不等式 117
補充材料 H.lder不等式和 Minkowski不等式.119
補充材料 H.lder不等式和 Minkowski不等式.119
第 8章一元微積分的套用向量值函式的微積分 121
8.1曲線的長度弧長微分 121
8.2平面曲線的曲率曲率半徑 122
8.3一元向量值函式的概念極限連續性.122
8.4一元向量值函式的微分和導向量 124
8.5一元向量值函式的積分 125
第 9章廣義積分 .127
9.1廣義積分的概念 127
補充材料廣義積分的 H.lder不等式和 Minkowski不等式130
補充材料廣義積分的 H.lder不等式和 Minkowski不等式130
9.2廣義積分的收斂性 130
9.3 Riemann引理 Riemann點135
9.4三個典型的廣義積分 136
9.5有限和的積分估計有限積的階估計 .137
第 10章數項級數無窮乘積 Euler求和公式.140
10.1 數項級數的概念和性質 140
10.2 正項級數的收斂性 146
補充材料正項收斂級數餘項的積分估計 .152
補充材料正項收斂級數餘項的積分估計 .152
10.3 一般項級數的收斂性 152
補充材料一般項收斂級數的餘項估計 .155
補充材料一般項收斂級數的餘項估計 .155
10.4 絕對收斂級數與條件收斂級數的特殊性質 .156
10.5 無窮乘積 158
10.6 Euler求和公式 Stirling公式160
補充材料 1 關於 Kummer判別法162
補充材料 2 根值系列判別法162
補充材料 3 關於級數的兩個不等式 163
補充材料 4 正項級數的部分和與級數收斂性的關係.164
補充材料 1 關於 Kummer判別法162
補充材料 2 根值系列判別法162
補充材料 3 關於級數的兩個不等式 163
補充材料 4 正項級數的部分和與級數收斂性的關係.164
第 11章常見點集的結構點列的極限 166
11.1平麵點集的結構二維空間.2 .166
11.2空間點集的結構 三維空間.3 .168
11.3 n維空間 .nn維空間點集的結構 .169
11.4點列的極限 170
11.5閉集套定理有限覆蓋定理聚點原理.171
第 12章多元函式的極限和連續性 .173
12.1 多元函式的概念 173
12.2 多元函式的極限 174
12.3 偏極限累次極限換序的充分條件 176
12.4 累次極限的換序公式和換序準則 178
12.5 多元函式的連續性 179
12.6 多元向量值函式場的概念 181
12.7 向量值函式的極限連續曲面的參數方程 .182
12.8 向量值連續函式的性質 184
第 13章多元函式的偏導數微分.185
13.1 偏導數的概念 185
13.2 高階偏導數 185
13.3 多元函式的微分 187
13.4複合函式的求導法則微分的形式不變性 .188
13.5 微分中值定理 Taylor公式.191
第 14章向量值函式的微分函式方程與隱函式 193
14.1 二元向量值函式的偏導向量微分 193
14.2 n元向量值函式的偏導向量微分 .195
14.3 開映射定理局部逆映射定理 198
14.4逆映射存在的充分條件 逆映射的性質 .199
14.5 函式方程及其解函式概述 202
14.6 隱函式的微分 203
14.7隱函式存在定理 207
第 15章多元函式微分學的一些套用 .210
15.1曲面的切平面和法向量 曲線的切線 .210
15.2方嚮導數與梯度 212
15.3多元函式的昀值 Fermat原理 極值213
15.4條件昀值 條件極值 Lagrange乘數法 214
第 16章函式列的收斂性 .219
16.1 函式列的極限概念 219
補充材料用多項式一致逼近連續函式 .222
16.2 一致收斂性的判定 224
16.3 極限函式的極限連續微分 226
16.4 極限與定積分的換序控制收斂定理 .227
16.5 極限與廣義積分的換序單調收斂定理 .229
第 17章函式項級數的一般理論 Taylor級數 Fourier級數.232
17.1 函式項級數的概念及其收斂性 232
17.2 函式項級數的極限連續微分 236
17.3 函式項級數的積分 240
17.4 分式級數函式項無窮乘積 242
17.5 冪級數的一般性質 243
17.6 Taylor級數.246
17.7 Fourier級數 .249
補充材料正交系的完備性 Parseval等式.256
第 18章多元函式的偏極限與偏積分 .264
18.1 二元函式的偏極限 264
18.2 狹義偏積分 267
18.3 廣義偏積分的收斂性 269
18.4 廣義偏積分的極限和連續性 272
18.5 廣義偏積分的微分 274
18.6 “有限區間 .無限區間”上累次積分的換序.275
18.7 “無限區間 .無限區間”上累次積分的換序.276
18.8 Beta函式 Gamma函式280
18.9 Γ()的有限展開式283
18.10 Fourier變換正餘項變換 283
第 19章曲線積分 .286
19.1第一型曲線積分 286
19.2 第二型曲線積分 291
補充材料第二型曲線積分的分部積分法 .292
第 20章 二重積分 .296
20.1 二重積分的概念和性質 296
20.2 二重積分的計算 298
20.3平面區域面積的求法 300
20.4二重積分的變數替換 302
20.5 Green公式 .306
20.6 積分與路徑無關的條件原函式問題 .307
20.7曲面的面積 308
第 21章曲面積分 .311
21.1 第一型曲面積分 311
21.2 第二型曲面積分的概念 313
21.3 第二型曲面積分的計算 314
21.4 Stokes公式空間曲線積分與路徑無關的條件 .317
第 22章三重積分多重積分 .319
22.1 三重積分的概念 319
22.2 三重積分的計算 320
22.3 三重積分的變數替換 322
22.4 Gauss公式 .327
22.5 場論的基本概念 329
22.6 n重積分 .332
補充材料化重積分為累次積分的代數定限法333
22.7 廣義重積分廣義曲面積分 336
一些典型問題舉例.342
部分練習題的答案與提示.368
參考文獻.392
