基本介紹
- 書名：數學分析（第一冊）：一元微積分
- 作者：丁曉慶
- ISBN：9787302336921
- 定價：24元
- 出版時間：2013-9-11
- 裝幀：平裝
圖書簡介,前 言,目 錄,
圖書簡介
這套書總結了作者數十年來關於古典微積分的研究成果和教學經驗, 對現階段微積分的教學內容和體系進行了卓有成效的探索和改革.
第一冊一元微積分部分, 基於傳統的教學內容引申出“階估計方法”, 通過簡捷途徑介紹了Euler求和公式.
第二冊多元微積分部分, 比較系統地研究了分析運算的換序問題, 介紹了Riemann積分的控制收斂定理.
第三冊是典型問題與習題集，精選了適合現階段教學要求並具有一定代表性的例題和習題.
本套書可作為數學專業以及其他對數學要求較高的理工科專業的數學分析教材或參考書.
第一冊一元微積分部分, 基於傳統的教學內容引申出“階估計方法”, 通過簡捷途徑介紹了Euler求和公式.
第二冊多元微積分部分, 比較系統地研究了分析運算的換序問題, 介紹了Riemann積分的控制收斂定理.
第三冊是典型問題與習題集，精選了適合現階段教學要求並具有一定代表性的例題和習題.
本套書可作為數學專業以及其他對數學要求較高的理工科專業的數學分析教材或參考書.
前 言
數學分析又叫古典微積分.
古典微積分是一種知識體系——是自然科學的基礎, 是一種教學體系——是現代教育的組成部分, 是一種思想體系——是全面細緻地分析問題、處理問題的理論指導.
古典微積分有2500多年的歷史, 它的萌芽可以追溯到公元前500年前後, 確立於17世紀. 但是, 作為一種理論體系, 目前的古典微積分還不能說是完善的, 部分原因是分析運算的換序問題沒有解決好, 長期以來依賴的一致收斂條件過強並且難以驗證. 這種狀況的長期存在, 不僅在古典微積分內部造成運算的換序困難, 而且在古典微積分的外部滋生了一種思潮——認為Riemann積分應該由Lebesgue積分取而代之.
本套書總結了作者數十年來關於古典微積分的研究成果和教學經驗, 對現階段微積分的教學內容和體系進行了探索和改革，希望做到以下兩點：
第一, 在古典微積分的理論框架內, 解決好分析運算的換序問題；
第二, 精煉古典微積分的體系和內容，使之更加適合現階段的教學需要.
具體來說，本書內容取材上有三個突出特點：
1. 全面套用上下極限理論, 把上下確界作為古典微積分的靈魂, 簡化了古典語言的繁瑣表述和推導；
2. 把Euler求和公式作為古典微積分的基本公式之一，導出Fourier級數的基本理論；
3. 以前人的成果為基礎，總結概括出簡潔實用的“階估計方法”.
微積分是一門基礎課，對於需要掌握專業數學工具以便將來解決各種實際問題的理工科青年人來說十分重要，但學起來也確實有一定困難，需要掌握相當多的知識和方法，以“求真務實”、“學以致用”為座右銘才能學好學通.
本書的出版得到了西北工業大學校領導、教務處、理學院和套用數學系負責同志的理解和支持，並且作為學校教學改革項目和規劃教材獲得了資助. 清華大學出版社對本書的出版也起到了積極的作用. 對於這些幫助, 作者表示由衷的感謝!
作者出版本書的願望是良好的, 是向著符合科學和教育發展需要的方向不懈努力的. 但是，一個人的知識和能力畢竟有限, 所以, 本書難免出現這樣那樣的缺點甚至錯誤, 衷心希望各位數學家、廣大教師和學生批評指正.
作?者
2013年3月於西北工業大學
目 錄
第1章 數列極限 1
1.1 實數的性質 兩個重要不等式 1
1.2 數集的確界 3
1.3 數列的確界 5
1.4 數列的極限 7
1.5 極限運算的性質 收斂數列的性質 10
1.6 極限的存在性 實數集的完備性 13
1.7 極限運算和初等運算的關係 18
1.8 無窮小數列與無窮大數列 20
1.9 數e及其相關極限 22
1.10 數列的上下極限 24
1.11 不定型極限 Stolz法則 29
第2章 函式極限 33
2.1 函式及其相關概念 33
2.2 函式的最值 確界 振幅 35
2.3 函式極限的定義 39
2.4 函式的左右極限 43
2.5 函式在無窮遠點的極限 44
2.6 對極限定義的總結 46
2.7 極限運算的性質 收斂函式的性質 46
2.8 極限的存在性 48
2.9 極限運算和常見運算的關係 求極限的變數替換法 50
2.10 無窮小量與無窮大量 51
2.11 不定型極限 求極限的例子 57
2.12 函式的上下極限 59
2.13 大O和小o 64
第3章 函式的連續性 67
3.1 函式在一點的連續性 67
3.2 函式在一點的左右連續性 間斷點的分類 68
3.3 連續函式及其運算 70
3.4 閉區間上連續函式的性質 73
3.5 一致連續性 75
第4章 微分與導數 78
4.1 微分與導數的概念 78
4.2 單側導數 導函式 80
4.3 導數的幾何與物理意義 82
4.4 求導法則 84
4.5 常用導數公式 87
4.6 參變數求導法 絕對值求導法 對數求導法 88
4.7 微分學基本定理 90
4.8 高階導數 95
4.9 微分法則 高階微分 99
4.10 L’Hospital法則 101
4.11 Taylor公式 104
4.1 微分與導數的概念 78
4.2 單側導數 導函式 80
4.3 導數的幾何與物理意義 82
4.4 求導法則 84
4.5 常用導數公式 87
4.6 參變數求導法 絕對值求導法 對數求導法 88
4.7 微分學基本定理 90
4.8 高階導數 95
4.9 微分法則 高階微分 99
4.10 L’Hospital法則 101
4.11 Taylor公式 104
第5章 導數的套用 111
5.1 兩個函式的差是常數的條件 111
5.2 函式的單調性 111
5.3 函式的凹凸性 114
5.4 函式的最值 118
5.5 函式的極值 119
5.6 函式的作圖 122
5.1 兩個函式的差是常數的條件 111
5.2 函式的單調性 111
5.3 函式的凹凸性 114
5.4 函式的最值 118
5.5 函式的極值 119
5.6 函式的作圖 122
第6章 原函式與不定積分 125
6.1 原函式與不定積分的概念 125
6.2 積分運算的線性性質 逐項積分法 127
6.3 第一類換元積分法——湊微分法 128
6.4 第二類換元積分法——參變數積分法 129
6.5 分部積分法 131
6.6 有理函式的積分 132
6.7 三角函式有理式的積分 135
6.8 無理函式的積分舉例 136
6.9 說明和補充例子 137
6.1 原函式與不定積分的概念 125
6.2 積分運算的線性性質 逐項積分法 127
6.3 第一類換元積分法——湊微分法 128
6.4 第二類換元積分法——參變數積分法 129
6.5 分部積分法 131
6.6 有理函式的積分 132
6.7 三角函式有理式的積分 135
6.8 無理函式的積分舉例 136
6.9 說明和補充例子 137
第7章 定積分 139
7.1 定積分的概念 微積分基本公式 139
7.2 積分的性質 143
7.3 函式的可積性 可積函式的性質 146
7.4 變限積分及其性質 153
7.5 分部積分法 換元積分法 156
7.6 積分中值定理 分部求和公式 160
7.7 函式的特性與積分的計算 162
7.8 積分不等式 164
第8章 一元微積分的套用 向量值函式的微積分 166
8.1 曲線的長度 弧長微分 166
8.2 平面曲線的曲率 曲率半徑 170
8.3 向量值函式的概念 極限 連續性 173
8.4 向量值函式的微分和導向量 176
8.5 向量值函式的積分 180
第9章 廣義積分 183
9.1 廣義積分的概念 183
9.2 廣義積分的收斂性 188
9.3 Riemann引理 Riemann點 192
9.4 三個典型的廣義積分 196
9.5 有限和的積分估計 有限積的階估計 198
7.1 定積分的概念 微積分基本公式 139
7.2 積分的性質 143
7.3 函式的可積性 可積函式的性質 146
7.4 變限積分及其性質 153
7.5 分部積分法 換元積分法 156
7.6 積分中值定理 分部求和公式 160
7.7 函式的特性與積分的計算 162
7.8 積分不等式 164
第8章 一元微積分的套用 向量值函式的微積分 166
8.1 曲線的長度 弧長微分 166
8.2 平面曲線的曲率 曲率半徑 170
8.3 向量值函式的概念 極限 連續性 173
8.4 向量值函式的微分和導向量 176
8.5 向量值函式的積分 180
第9章 廣義積分 183
9.1 廣義積分的概念 183
9.2 廣義積分的收斂性 188
9.3 Riemann引理 Riemann點 192
9.4 三個典型的廣義積分 196
9.5 有限和的積分估計 有限積的階估計 198
第10章 數項級數 無窮乘積 Euler求和公式 201
10.1 數項級數的概念和性質 201
10.2 正項級數的收斂性 207
10.3 一般項級數的收斂性 214
10.4 絕對收斂級數與條件收斂級數的特殊性質 217
10.5 無窮乘積 220
10.6 Euler求和公式 Stirling公式 223
10.1 數項級數的概念和性質 201
10.2 正項級數的收斂性 207
10.3 一般項級數的收斂性 214
10.4 絕對收斂級數與條件收斂級數的特殊性質 217
10.5 無窮乘積 220
10.6 Euler求和公式 Stirling公式 223
參考文獻 229
