普通高等教育十一五國家級規劃教材·數學分析

《數學分析(上下)》是作者在20世紀90年代初編寫的同名教材的基礎上，結合教學實踐，進行了更為全面的探索和改革，經過了大量的教學研究，並參閱了國內外最新出版的教材後編寫的。全書體系結構的安排充分考慮了教學效果的需要，而且增加了現代數學分析的一些方法和內容。為了幫助讀者深入理解有關的概念和方法，行文中不時穿插了許多啟發讀者思考的練習，每章後還附有精選的習題。為了方便讀者使用《數學分析(上下)》，在書末提供了較為詳細的習題解答。《數學分析(上下)》主要內容是極限理論、實數系基本理論、一元微積分學、級數論、多元微積分學、曲線曲面積分、含參變數積分以及Lebesgue積分初步等。

基本介紹

• 書名：普通高等教育十一五國家級規劃教材•數學分析
• 出版社：復旦大學出版社
• 頁數：786頁
• 開本：16
• 定價：68.00
• 作者：歐陽光中 姚允龍
• 出版日期：2006年7月1日
• 語種：簡體中文
• ISBN：7309035704
• 品牌：復旦大學出版社

內容簡介

人類的文明進步和社會發展，無時無刻不受到數學的恩惠和影響，數學科學的套用和發展牢固地奠定了它作為整個科學技術乃至許多人文學科的基礎的地位。當今時代，數學正突破傳統的套用範圍向幾乎所有的人類知識領域滲透，它和其他學科的互動作用空前活躍，越來越直接地為人類物質生產與日常生活作出貢獻，也成為其掌握者打開眾多機會大門的鑰匙。
數學分析的形成和發展是由於物理學、天文學、幾何學等研究領域的進展和突破。數學思想的自如套用、數學研究的準確抽象、數學邏輯的嚴格推理、數學思考的巧妙方法、數學符號的熟練演算等對數學人才的要求使數學分析成為數學訓練的重要基礎課程。
《數學分析(上下)》用現代數學的思想和方法，對數學分析的傳統教材進行了系統的改革，引進了一些最新的敘述與處理方法，使得更便於學生理解、掌握數學分析的精髓，從而更便於傳統數學與現代數學接軌。

圖書目錄

第一章集合1．1集合1．2數集及其確界第二章數列極限2．1數列極限2．2數列極限（續）2．3單調數列的極限2．4子列第三章映射與實函式3．1映射3．2一元實函式3．3函式的幾何特性第四章函式極限和連續性4．1函式極限4．2函式極限的性質4．3無窮小量、無窮大量和有界量第五章連續函式和單調函式5．1區間上的連續函式5．2區間上連續函式的基本性質5．3單調函式的性質第六章導數和微分6．1導數概念6．2求導法則6．3高階導數和其他求導法則6．4微分第七章微分學基本定理及套用7．1微分中值定理7．2Taylor展開式及套用7．3L'Hospital法則及套用第八章導數的套用8．1判別函式的單調性8．2尋求極值和最值8．3函式的凸性8．4函式作圖8．5向量值函式第九章積分9．1不定積分9．2不定積分的換元法和分部積分法9．3定積分9．4可積函式類R[a，b]9．5定積分性質9．6廣義積分9．7定積分與廣義積分的計算9．8若干初等可積函式類第十章定積分的套用10．1平面圖形的面積10．2曲線的弧長10．3旋轉體的體積和側面積10．4物理套用10．5近似求積第十一章極限論及實數理論的補充11．1Cauchy收斂準則及疊代法11．2上極限和下極限11．3實數系基本定理第十二章級數的一般理論12．1級數的斂散性12．2絕對收斂的判別法12．3收斂級數的性質12．4Abel-Dirichlet判別法12．5無窮乘積第十三章廣義積分的斂散性13．1廣又積分的絕對收斂性判別法13．2廣義積分的Abel-Dirichlet判別法第十四章函式項級數及冪級數14．1一致收斂性14．2一致收斂性的判別14．3一致收斂級數的性質14．4冪級數14．5函式的冪級數展開第十五章Fourier級數15．1Fourier級數15．2Fourier級數的收斂性15．3Fourier級數的性質15．4用分項式逼近連續函式第十六章Euclid空間上的點集拓撲16．1Euclid空間上點集拓撲的基本概念16．2Euclid空間上點集拓撲的基本定理第十七章Euclid空間上映射的極限和連續17．1多元函式的極限和連續17．2Euclid空間上的映射17．3連續映射第十八章偏導數18．1偏導數和全微分18．2鏈式法則第十九章隱函式存在定理和隱函式求導法19．1隱函式的求導法19．2隱函式存在定理第二十章偏導數的套用20．1偏導數在幾何上的套用20．2方嚮導數和梯度20．3Taylor公式20．4極值20．5Logrange乘子法20．6向量值函式的全導數第二十一章重積分21．1矩形上的二重積分21．2有界集上的二重積分21．3二重積分的變數代換及曲面的面積21．4三重積分、n重積分的例子第二十二章廣義重積分22．1無界集上的廣義重積分22．2無界函式的重積分第二十三章曲線積分23．1第一類曲線積分23．2第二類曲線積分23．3Green公式23．4Green定理第二十四章曲面積分24．1第一類曲面積分24．2第二類曲面積分24．3Gauss公式24．4Stokes公式24．5場論初步第二十五章含參變數的積分25．1含參變數的常義積分25，2含參變數的廣義積分25．3B函式和函式第二十六章Lebesgue積分26．1可測函式26．2若干預備定理26．3Lebesgue積分26．4（L）積分存在的充分必要條件26．5三大極限定理26．6可測集及其測度26．7Fubini定理練習及習題解答

文摘

插圖：

序言

復旦大學數學系的數學分析教材從20世紀60年代起出版了幾種版本，隨著改革開放和對外交流的發展，現代數學觀點和方法融入數學分析教材是必然的趨勢。20世紀90年代初由歐陽光中和姚允龍編寫的《數學分析》（以下稱原書，由復旦大學出版社出版）由於其獨特的風格深受讀者歡迎，被許多學校選用作為教材或教學參考書，也為其他教材提供了參考，迄今為止已經三次重印。近年來，原書在復旦大學數學系多次使用，取得了很好的教學效果，深受廣大學生歡迎。在教學過程中，通過對教材不斷地改進，又積累了很多新的經驗，得到了各方同仁建議性意見，同時對照國內外同類教材的發展方向，以及21世紀數學分析課程對教學的要求，本著學生易學、教師易教的宗旨對原書進行了重新編寫。本書繼續保持了原書的基本特色，對上下冊風格進行了協調，並進一步簡化一些重要結論的證明，將現代數學的一些重要工具引入數學分析課程，為讀者進一步學習現代數學打好基礎。本書的重要特點是理論體系完整，對所有重要結論都給出了嚴格的證明；對數學分析教材中的一系列難點問題的講述進行了系統的改進，提出了許多新的思想和方法。本書對數學分析教材進行的創新工作主要包括：1。提出用QD10函式建立實數系的新方法，使得實數系理論處理變得非常簡明，學生也容易接受。2。在不涉及圓周長和圓面積的前提下，用數列極限定義了圓周率，克服了傳統教材與圓周長相互循環定義之嫌，嚴格化了重要極限lim的證明。3。在積分理論中，不論是定積分還是重積分，我們都引入並證明了Rie－mann積分中的最深刻結論：函式Riemann可積的充要條件是有界幾乎處處連續。我們引入了零測度集和幾乎處處連續等概念，並且簡化了相應結論的證明和Riemann積分的討論。4。給出了全新的無窮限積分順序交換定理。5。作為選用章節，我們引進了經過數學分析化的Lebesgue積分理論。僅用了一章的篇幅，使用了嶄新的方法介紹了Lebesgue積分以及各種極限理論和Lebesgue測度，所需知識只是初等微積分，容易為初學者接受。本書的Lebesgue積分理論不僅是數學分析的一個強有力工具，而且也是實變函式的一個重要套用。這部分內容銜接了數學分析和實變函式課程並填補了兩者之間的空白區域。當然，這部分內容即使不講，也不影響整個課程的完整性。6。嚴格化了廣義重積分的理論。7。簡化了Cauchy收斂原理。本書還引進了現代分析的觀點和概念，對下列內容作了修改：1。將有界閉區間上的連續函式的三大定理合併為一條值域定理。2。用整體眼光來講授極值問題，尤其是Lagrange乘子法，克服了傳統教材過分強調局部的毛病。3。強調了集合論觀點處理問題的方法。4。引進了可列集、零測度等概念。在教材內容編排上，作了下述改進：1。正文與習題緊連布排，改變傳統的只在章末安排習題的做法，為教師、學生針對性地選題帶來方便，章末主要安排了一些綜合性的習題。書末還附有參考答案。2。不同於用正項級數和變號級數為標準分類，採用絕對收斂和收斂為標準分類討論收斂性，更為科學合理。而傳統方法容易導致學生對變號級數使用等價量判別收斂性感到困惑。3。改變以往輕廣義積分重定積分的做法，加強了廣義積分的運算。4。引進了任意區間 記號，使得許多結論的描述更為簡潔。5。多重積分的變數代換公式的證明是傳統課程的難點。現在修改為先講述曲面積分公式，由此輕而易舉地推出該公式，證明過程簡潔明了。在實際教學中有關Lebesgue積分的內容可以根據實際情況和教學計畫的要求由主講講師決定取捨。希望本書的出版能受到廣大讀者歡迎，並能對於數學分析課程的教學研究和教學改革起到一點推進作用。應讀者的意見和建議，本書所有習題提供了參考性的解答。最後，感謝教育部對於本書的資助，並將本書列入普通高等教育“十五”國家級規劃教材。感謝復旦大學教務處、復旦大學數學系領導和同仁的幫助，感謝復旦大學出版社范仁梅女士對本書提出了很好的建議以及對本書的出版的大力支持。本書上冊及第26章由姚允龍編寫，下冊原作者歐陽光中，第16章到第20章由周淵負責改寫，第21章到第25章由姚允龍改寫，習題參考答案由周淵提供。本書作為“十五”國家級規劃教材敬獻給復旦大學，謹以此賀母校百年校慶。