《復域微分方程、差分方程的解析性質和動力學研究》是依託復旦大學，由王珺擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：復域微分方程、差分方程的解析性質和動力學研究
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王珺
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題擬討論復微分方程、復差分方程解的各種性質，包括解析性質、動力學行為和漸近狀態等。微分方程的解析理論與物理有著諸多聯繫，它和非線性媒質中的波理論相互影響共同發展。Painlevé微分方程的超越解對於非線性理論就如同經典特殊函式對於線性理論一樣重要，相關結果能廣泛套用於物理、隨機矩陣模型和各種統計學現象中。近年來，復差分方程理論受到越來越多的關注，成為熱門的新方向。許多物理模型就是差分方程，很多特殊函式的性質也由差分方程表示。Painlevé微分方程和離散Painlevé方程一直都是數學和物理學中的重要研究對象，差分Painlevé方程是它們發展的必然趨勢。此外，我們還將研究線性微分方程解的性質在函式惟一性理論中的套用，也涉及了分數次微分方程的解研究。本課題是瞄準現代分析前沿的研究項目，將深化拓展復微分方程和復差分方程的相關研究,具有重要的理論意義和套用價值。
結題摘要
微分方程、差分方程理論與物理有著諸多聯繫，相關結果廣泛套用於物理、隨機矩陣模型和各種統計學現象中,本項目綜合利用複分析中的理論和方法研究了復微分方程、復差分方程解的各種性質，主要結果涉及解的解析性質、動力學行為和漸近狀態： (1) 將復動力系統理論與微分方程復振盪理論結合起來，討論了線性微分方程整函式解的Julia集徑向分布行為，以及兩個線性無關解的乘積是否存在Baker遊蕩域； (2) 討論了一類函式方程，特殊情況下它會退化為復差分方程和q-差分方程，給出了亞純解的增長級下界估計，以及解的增長級和極點收斂指數之間的關係； (3) 討論了線性微分方程亞純解的零點和不動點性質，更一般地，就解生成的微分多項式與小函式的關係作出了完整的描述； (4) 研究了正交多項式的漸近性質，由於正交多項式滿足一定的微分方程或差分方程，有助於了解微分方程或差分方程的解析性質； (5) 討論了一類偏微分方程解析解的存在性，得到該方程有解析解的充分必要條件，並對解析解的增長性給出了估計，建立起級和型的公式； (6) 建立一類複合資產驅動的期權價格函式在帶交易費時所滿足的分數次Black-Scholes方程，並利用保險精算法得到歐式期權定價公式。
