分析與方程卷

《分析與方程卷》是2006年清華大學出版社出版的圖書，作者是編委會。

基本介紹

• 中文名：分析與方程卷 
• 作者：編委會 
• 出版社：清華大學出版社 
• 出版時間：2006年05月01日 
• 定價：59.90 元
• ISBN：9787302062615 
• 印刷日期：2006.05.12

內容簡介

本卷包括一元微積分、多元微積分、複變函數、常微分方程、矩陣分析與線性系統、系統辨識、偏微分方程、積分方程共8部分內容.書中從理論與套用方面深入淺出地闡述了各分支中的基本概念、基本理論與基本方法.內容注重背景，強調套用，便於讀者加深理解、掌握與套用.本書可供理、工、農、醫、經管等領域的廣大科技人員，大、中專院校教師、學生及研究生使用.

目錄

符號表 9

一元分析

1 函式、數列、極限、函式連續性 1

1.1 實數 1

1.1.1 實數的定義 1

1.1.2 實數的性質及四則運算 2

1.1.3 關於實數的一些基本定理 7

1.2 函式與數列 9

1.2.1 變數變化區間 9

1.2.2 函式概念及分類 10

1.2.3 初等函式及其圖象 12

1.2.4 序列 25

1.3 極限 26

1.3.1 數列極限 26

1.3.2 聚點 28

1.3.3 判斷數列極限存在的若干定理 29

1.3.4 收斂數列的性質及運算 32

1.3.5 函式極限的定義 32

1.3.6 判斷函式極限存在的若干定理 33

1.3.7 函式極限的性質及運算 35

1.3.8 無窮小量與無窮大量 37

1.4 函式連續性 41

1.4.1 連續性的基本概念 41

1.4.2 連續函式的性質 44

1.4.3 一致連續（均勻連續） 45

2 一元函式微分學 46

2.1 導數與微分 46

2.1.1 基本概念 46

2.1.2 連續、可導、可微間的相互關係 48

2.1.3 微分法則及基本公式 49

2.1.4 高階導數與高階微分 52

2.2 微分學基本定理 55

2.2.1 Fermat定理 55

2.2.2 微分中值定理 55

2.2.3 Taylor公式 57

2.3 導數與微分的套用 59

3 一元函式積分學 68

3.1 不定積分 68

3.1.1 不定積分概念 68

3.1.2 積分法 69

3.2 定積分 80

3.2.1 概念與性質 80

3.2.2 定積分計算 84

3.3 定積分套用 89

3.3.1 平面域的面積 89

3.3.2 空間體的體積 90

3.3.3 質心與形心 95

3.4 積分表 98

4 級數 114

4.1 數項級數 114

4.1.1 基本概念 114

4.1.2 級數收斂性的基本定理 115

4.1.3 正項級數的判斂 117

4.1.4 任意項級數 125

4.1.5 絕對收斂級數與條件收斂級數的某些特性、級數加快收斂法 128

4.1.6 二重級數 133

4.1.7 無窮乘積 136

4.2 函式項級數 141

4.2.1 基本概念 141

4.2.2 一致收斂的判別法 144

4.2.3 一致收斂函式項級數的性質 146

4.3 冪級數 149

4.3.1 基本概念 149

4.3.2 冪級數性質 151

4.3.3 冪級數的運算 153

4.3.4 Taylor級數 155

4.4 Fourier級數 162

4.4.1 基本概念 162

4.4.2 Fourier係數的性質 168

4.4.3 Fourier級數的收斂性 170

4.4.4 Fourier級數的一致收斂性 172

4.4.5Fourier級數的逐項積分與逐項微分173

4.4.6Fourier級數的求和174

4.4.7Fourier級數的套用178

5廣義積分181

5.1無窮限廣義積分181

5.1.1基本概念181

5.1.2收斂性判別法182

5.2無界函式的廣義積分184

5.2.1基本概念184

5.2.2收斂性判別法185

多元分析

6向量代數194

6.1n維向量空間中的代數194

6.1.1n維向量空間和基194

6.1.2向量的內積與度量矩陣196

6.1.3逆變基198

6.1.4坐標變換與基的轉換200

6.2三維向量空間中的代數200

7多元函式及其極限、連續性206

7.1n維歐氏空間En206

7.1.1概念206

7.1.2n維歐氏空間中的點集207

7.1.3n維歐氏空間的性質210

7.2多元函式211

7.2.1映射211

7.2.2多元函式的概念212

7.3多元函式的極限及連續性214

7.3.1多元函式的極限214

7.3.2二元函式的累次極限215

7.3.3多元函式的連續性216

7.4多元向量函式及其極限、連續性217

7.4.1概念217

7.4.2向量函式的極限及連續性219

7.5附錄V3中的幾何圖形及公式221

8多元函式的微分學232

8.1偏導數232

8.2全微分234

8.3複合函式的偏導數與全微分236

8.4方嚮導數與梯度239

8.4.1方嚮導數239

8.4.2梯度240

8.5高階偏導數與高階全微分242

8.5.1高階偏導數242

8.5.2高階全微分244

8.6Taylor公式245

8.7隱函式及其微分法246

8.8空間曲線及其切線248

8.9光滑曲面與切平面250

8.10極值253

8.10.1極值253

8.10.2條件極值255

9向量函式的微分學257

9.1一元向量函式的微分學257

9.2多元向量函式的可微性與導數261

9.2.1基本概念261

9.2.2求導法則266

9.2.3方嚮導數268

9.2.4Taylor公式268

9.3向量函式的反函式269

9.4由方程組確定的隱函式組272

10含參量積分274

10.1含參量積分274

10.2含參量廣義積分276

10.2.1一致收斂性276

10.2.2含參量廣義積分的性質278

11重積分280

11.1En中的Jordan可測集280

11.2En上的Riemann積分281

11.3重積分的計算285

11.4重積分的變數代換289

11.4.1正則變換289

11.4.2特殊情形292

12曲線積分與曲面積分297

12.1可求長曲線297

12.2第一型曲線積分298

12.3第二型曲線積分300

12.4第一型與第二型曲線積分的聯繫303

12.5Green公式303

12.6曲面面積304

12.7第一型曲面積分306

12.8第二型曲面積分307

13標量場及向量場312

13.1引論312

13.2標量場的梯度與保守場313

13.3向量場的散度及Gauss定理316

13.4向量場的旋度及Stokes定理318

13.5線性微分運算元321

13.5.1Hamilton運算元及Laplace運算元321

13.5.2微分運算元公式322

13.6曲線坐標中的向量分析325

13.6.1曲線坐標系325

13.6.2曲線坐標系中的基向量及度量張量327

13.6.3基向量的導數及Christoffel符號329

13.7曲線坐標系中的微分運算元331

13.7.1任意曲線坐標系中的微分運算元331

13.7.2正交曲線坐標系中的微分運算元332

13.7.3柱坐標中的微分運算元332

13.7.4球坐標中的微分運算元334

13.8由旋度及散度確定的向量場335

13.8.1無旋場（層狀場）335

13.8.2無源場（管狀場）336

13.8.3Laplace場338

13.8.4一般場340

13.9不平穩場342

13.9.1標量場及向量場中的全微分342

13.9.2標量場及向量場中的積分公式343

13.9.3關於向量線及向量管保持不變的定理343

14張量分析基礎344

14.1引言344

14.2張量與張量空間345

14.3張量代數350

14.3.1縮並與標積350

14.3.2內積空間中的縮並與點乘351

14.3.3置換、對稱化與反稱化352

14.3.4外形式與外積354

14.3.6容積元及Hodge星運算元358

14.4二階張量（仿射量）359

14.4.1仿射量的基本性質及運算359

14.4.2仿射量的不變數364

14.4.3幾種特殊仿射量的性質365

14.4.4仿射量的分解367

14.5張量分析368

14.5.1賦范張量空間與距離368

14.5.2張量函式的極限與連續性370

14.5.3張量函式的導數與微分371

14.6張量場376

14.6.1張量場及絕對微分學376

14.6.2曲線坐標中的張量場378

14.6.3張量場的積分定理383

複變函數論

15複平面與複變函數388

15.1引言388

15.2複數的幾何表示389

15.2.1複平面389

15.2.2用平面向量表示複數390

15.2.3複數在極坐標系下的表示法391

15.3複數的運算法及其幾何意義392

15.3.1加、減法392

15.3.2乘法393

15.3.3除法394

15.3.4倒數395

15.3.5方根396

15.4複平面上的點集396

15.5球極投影398

15.6複數列的極限400

15.7複數項級數的收斂性401

15.7.1收斂定義及其判別法401

15.7.2絕對收斂級數的性質402

15.8路徑與域403

15.9複變函數405

16解析函式409

16.1引言409

16.2複變函數的極限與連續性409

16.3複變函數的導數411

16.4複變函數的解析性413

16.5初等超越函式415

16.5.1指數函式415

16.5.2三角函式417

16.5.3雙曲函式419

16.6多值函式420

16.6.2對數函式422

16.6.3一般冪函式425

16.6.4反三角函式425

16.6.5反雙曲函式426

17複變函數的積分427

17.1引言427

17.2複變函數的積分427

17.3Cauchy積分定理及其簡單的推論與擴充430

17.4Cauchy積分公式433

17.5最大模原理與調和函式436

18冪級數438

18.1引言438

18.2函式項級數的一致收斂性438

18.3冪級數440

18.4Taylor級數445

18.5解析開拓448

18.6Laurent級數455

18.6.1Laurent展開式455

18.6.2孤立奇點及其分類457

18.6.3解析函式在∞點的性質459

18.7整函式與亞純函式461

18.7.1整函式461

18.7.2亞純函式461

19留數定理及其套用463

19.1引言463

19.2留數定理463

19.3留數定理對亞純函式的套用466

19.4留數定理在積分計算中的套用470

20保角（共形）映射477

20.1引言477

20.2保角映射477

20.2.1導數模的幾何意義477

20.2.2導數輻角的幾何意義478

20.2.3保角映射及其性質478

20.3分式線性函式w=az+bcz+d479

20.3.1幾何作用479

20.3.2解析性、單葉性、保角性480

20.3.3保圓性、保對稱性480

20.3.4惟一確定分式線性函式的條件482

20.3.5幾個重要的分式線性函式482

20.4存在定理邊界對應定理484

20.5例題484

20.6常見的保角映射488

20.7若干套用495

20.7.1平面向量場495

20.7.2用復變數表示平面向量場499

20.7.3平面流速場的復勢499

20.7.4平面靜電場的復勢501

20.7.5Жуковский機翼502

20.7.6平行板電容器504

常微分方程

21常微分方程的一般概念508

21.1微分方程508

21.2微分方程的解509

22一階微分方程511

22.1可積類型及其解法要點511

22.2一階微分方程的一些基本定理518

22.3奇解及其解法520

22.4一階微分方程的幾何意義522

23高階微分方程及微分方程組525

23.1高階微分方程525

23.2微分方程組531

24線性微分方程537

24.1線性微分方程的一般理論537

24.2常係數齊次線性方程的解法541

24.3常係數非齊次線性方程的解法542

24.4變係數線性微分方程的冪級數解555

24.5線性微分方程組561

24.6常係數線性微分方程組的解法564

24.7在振動問題上的套用570

24.8二階線性微分方程的邊值問題574

24.9本徵值問題581

25穩定性理論585

25.1基本概念585

25.2常係數齊次線性方程組零解的穩定性587

25.3按線性近似判定穩定性593

25.4Liapunov第二方法596

25.5V函式的某些做法和套用600

25.6周期解和極限環625

26非線性微分方程的近似解法628

26.1圖解法628

26.2攝動法635

26.3諧波線性化方法643

矩陣分析與線性系統

27矩陣範數與測度645

27.1關於矩陣分析的引言645

27.2向量的範數645

27.3矩陣的範數646

27.4矩陣的測度647

28矩陣的譜分解與不等式650

28.1單純矩陣650

28.2單純矩陣的譜分解651

28.3幾種矩陣的關係652

28.4有關特徵值的不等式（矩陣不等式）653

29矩陣序列與矩陣級數656

29.1向量序列656

29.2矩陣級數657

30矩陣的微分與積分660

30.1引言660

30.2矩陣的導數660

30.3關於向量及矩陣的導數662

30.4向量及矩陣導數的套用665

30.5向量及矩陣的積分666

30.6向量函式的Cramer行列式與內積668

31矩陣函式673

31.1引言673

31.2矩陣多項式673

31.3矩陣函式675

31.4矩陣函式的標準形678

31.5矩陣分析的幾個常用結果688

32系統分析中的某些機率統計基礎691

32.1統計分布的部分結果691

32.2關於極限的定理692

32.3估計理論694

32.4有關鞅論的幾個結果698

33連續線性系統701

33.1引言701

33.2連續線性系統的數學模型701

33.2.1線性系統建模701

33.2.2狀態空間模型703

33.2.3輸入輸出模型704

33.3時變系統的解705

33.4定常線性系統707

33.5eAt及其計算709

33.6連續線性系統的可控性與可觀測性718

33.7可控系統的典範形723

33.8可觀測系統的典範形728

34離散線性系統730

34.1離散線性系統建模的例730

34.2Z變換731

34.3差分方程734

34.4常係數差分方程736

34.5一階差分方程組738

34.6解的穩定性742

34.7離散線性系統的輸入輸出模型744

34.8離散線性系統的狀態空間模型745

34.9離散系統的可控性與可觀測性746

34.10可控與可觀測典範形747

34.11幾類線性系統模型的互換747

34.11.1連續線性系統單輸入單輸出模型化為狀態空間模型747

34.11.2連續線性系統的離散化748

34.11.3離散狀態空間模型化為輸入輸出模型749

34.11.4輸入輸出模型化為狀態空間模型750

35線性系統對隨機輸入的回響751

35.1平穩過程與擬平穩過程751

35.2確定性信號的譜表示752

35.3連續時間平穩信號的譜753

35.4離散平穩信號的譜754

35.5向量隨機序列的譜755

35.6白噪聲756

35.7例757

35.8連續線性系統對隨機輸入的回響759

35.9離散線性系統對隨機輸入的回響761

35.10套用763

35.11持續激勵信號、採樣定理與遍歷性765

35.12偽隨機信號767

35.12.1[0，1]均勻分布的偽隨機數767

35.12.2常態分配的偽隨機數768

系統辨識

36離散線性系統辨識的常用算法774

36.1引言774

36.2LS及其病態算法775

36.3遞推最小二乘法777

36.4多變數系統的LS778

36.5時變系統的適應算法779

36.6基於Hˉ變換的RLS780

36.7具有不相關噪聲模型的最大似然估計781

36.8關於一致性估計的注781

36.9輔助變數法與RIV782

36.10增廣最小二乘法與RELS783

36.11廣義最小二乘法與RGLS784

36.12遞推最大似然法786

37模型檢驗與階的估計789

37.1模型檢驗789

37.2F檢驗定階法790

37.3AIC定階法791

38預報誤差方法與狀態空間模型辨識793

38.1預報誤差模型793

38.2PEM與ML的關係797

38.2.1噪聲方差為已知的情形797

38.2.2噪聲方差為未知的情形797

38.3Kalman濾波的基本結果798

38.4增廣Kalman濾波800

38.5狀態空間模型的自適應辨識802

38.5.1引言802

38.5.2自適應辨識算法802

38.5.3算法803

38.5.4EKF的參數估計初始化問題804

38.6套用804

39連續系統的辨識809

39.1引言809

39.2採樣與模型810

39.3lnF的解析算法810

39.4lnF的級數算法812

39.5lnF的數值疊代算法813

40系統預報815

40.1引言815

40.2最小方差預報815

40.3權函式模型的預報816

40.3.1模型816

40.3.2預報函式（預報器）817

40.3.3多變數系統的預報818

40.4輸入輸出模型的預報818

40.4.1模型818

40.4.2預報函式（預報器）819

40.5狀態空間模型的預報820

40.6自適應預報820

40.6.1引言820

40.6.2PEM自適應預報算法821

偏微分方程

41偏微分方程基本概念823

41.1基本概念823

41.2定解條件824

41.3定解問題826

41.4偏微分方程分類828

42一階偏微分方程832

42.1一階線性偏微分方程832

42.2一般一階偏微分方程835

42.3一階偏微分方程組CauchyˉKovalevskaya定理837

43行波法與分離變數法841

43.1一維波動方程的行波解841

43.2SturmˉLiouville固有值問題845

43.3一維混合問題的分離變數法846

43.4高維混合問題的分離變數法Laplace方程的解857

44積分變換法869

44.1Fourier變換與Cauchy問題869

44.2廣義函式與基本解871

44.3Laplace變換879

44.4Laplace變換的套用881

44.5積分變換表884

45Green函式法893

45.1Green函式與熱傳導方程基本解893

45.2調和函式的性質895

45.3Green函式與Laplace方程第一邊值問題897

45.4特殊區域上的Green函式899

46偏微分方程近代理論902

46.1解的惟一性902

46.2弱解與泛函方法904

46.3線性運算元半群與發展方程的解908

46.4不動點定理911

46.5擬微分運算元913

46.6Lewy反例919

積分方程

47積分方程的一般概念921

47.1基本概念與方程的分類921

47.2積分方程與微分方程的關係925

47.2.1微分方程初值問題與積分方程的關係925

47.2.2微分方程邊值問題與積分方程的關係926

47.3積分微分方程926

47.4連續核與L2核927

48Volterra積分方程930

48.1兩類Volterra積分方程930

48.1.1第二類Volterra積分方程930

48.1.2第一類Volterra積分方程932

48.2兩類弱奇性積分方程933

48.3Abel方程935

48.4卷積型的積分方程936

49Fredholm積分方程938

49.1退化核938

49.2L2核的ω分解940

49.3Fredholm擇一性941

49.4連續核的Fredholm理論943

49.5L2核的Fredholm公式946

49.6Hermite核理論950

49.7第一類Fredholm積分方程957

50積分方程組960

50.1Fredholm積分方程組960

50.2Volterra積分方程組961

50.3一類Fredholm型積分方程962

51Cauchy奇異積分方程964

51.1Cauchy型積分964

51.2Cauchy奇異積分方程和奇異運算元966

51.3Cauchy奇異積分方程的解法———化歸為Riemann邊值問題的解法969

51.4Cauchy奇異積分方程的解法———正則化方法973

51.5Cauchy奇異積分方程的基本定理974

52WienerˉHopf積分方程976

52.1函式的因子分解976

52.2WienerˉHopf方法979

52.3WienerˉHopf積分方程的基本定理984

53非線性積分方程985

53.1Fredholm型非線性積分方程985

53.2Volterra型非線性積分方程985

53.3Hammerstein型非線性積分方程987

附錄990

中文—外文名詞索引990

外文—中文名詞索引1012

外國人名表1034

參考文獻1041